@@ -22,9 +22,13 @@ Wenn $v = (1,2,3,4)$ und $c=2$, so ist $\texttt{mae}(v,c) = \sum_{i=1}^4 \dfrac{
Es ist natürlich sofort für einen Vektor $v$ interessant, welcher Vektor $w$ die geringste mittlere absolute Abweichung hat. Wenn man an $w$ jedoch keine weiteren Bedingungen stellt, ist mit $w=v$ das Minimum schnell gefunden. Wir werden dieser Frage später wieder begegnen und begnügen uns jetzt damit, zu fragen, welches $c \in \mathbb{R}$ den Ausdruck $\texttt{mae}(v,c)$ minimiert. Graphisch können wir uns vorstellen, als $x$-Achse die Zahlen von $1$ bis $n$ zu verwenden, und dort jeweils die Werte $v_i$ aufzutragen. Dann entspricht die Wahl eines $c \in \mathbb{R}$ einer horizontalen Gerade, und wir fragen uns, welche solche Gerade den geringsten gemeinsamen Abstand zu allen Punkten hat.
:::{admonition} Definition
$\texttt{median}(v) := \min_{c \in \mathbb{R}} \texttt{mae}(v,c)$ ist \`\`der'' *Median* von $v$.
$\texttt{median}(v) := \arg\min_{c \in \mathbb{R}} \texttt{mae}(v,c)$ ist \`\`der'' *Median* von $v$.
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Das bedeutet also, der Median ist definiert als eine Zahl $c \in \mathbb{R}$ mit der Eigenschaft, dass die Zahl $\texttt{mae}(v,c)$ minimal wird.
Das bedeutet, für alle $c$ gilt $\texttt{mae}(v,c) \geq $\texttt{mae}(v,\texttt{median}(v))$.
Achtung: So definiert können mehrere Zahlen 'der' Median sein. It's not a bug, it's a feature.
Diese Definition mag ungewohnt sein, aber sie erfüllt die folgende Eigenschaft:
:::{admonition} Proposition
...
...
@@ -65,7 +69,7 @@ und für $c \in \mathbb{R}^n$ schreiben wir $\texttt{mse}(v,c) := \texttt{mse}(v
:::{admonition} Proposition
Für einen Vektor $v \in \mathbb{R}^n$ minimiert der (arithmetische) *Mittelwert* von $v$ die mittlere quadratische Abweichung:
