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   - file: zufallsvariablen-verteilungen
   - file: erwartungswert
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+- caption: Stetige Stochastik und Scipy
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+  chapters:
+  - file: stetige-verteilungen
+  - file: normalverteilung
+  - file: wichtigste-stetige-verteilungen

stetige-verteilungen.md

+# Stetige Verteilungen
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+:::{admonition} Definition
+Sei $X \colon \Omega \to \mathbb{R}$ eine Zufallsvariable, d.h. $\Omega$ ein Wahrscheinlichkeitsraum (eine Menge $\Omega$ zusammen mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß $P_\Omega$) und $X$ eine Abbildung, sodass $P(X \in A) := P_\Omega(X^{-1}(A))$ für alle Ereignisse $A \subseteq \mathbb{R}$ definiert ist.
+
+Wenn $\Omega$ kein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist (z.B. weil $\Omega$ eine überabzählbar unendliche Menge ist, etwa $\Omega = \mathbb{R}^n$), und $X$ unendlich viele mögliche Werte annimmt, nennen wir $X$ eine *stetige Zufallsvariable*.
+:::
+
+:::{admonition} Definition
+Man nennt die kleinste Menge $A \subset \mathbb{R}$ mit $P(X \in A)=1$ den *Träger* von $X$ und schreibt auch
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+$$
+supp(X) = \bigcap \{ A \subseteq \mathbb{R} : P(X \in A) = 1 \}
+$$
+:::
+
+Der Träger ist auch für diskrete reelle Zufallsvariablen definiert - der offensichtliche Unterschied ist, dass per definitionem diskrete Zufallsvariablen einen diskreten Träger haben (d.h. eine Menge reeller Zahlen, die keinen Häufungspunkt hat, insbesondere kein Intervall enthält).
+
+## Dichtefunktionen
+
+:::{admonition} Definition
+Sei $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ und $f \colon \Omega \to [0,\infty)$ eine integrierbare Funktion (bezüglich des Lebesgue-Maßes auf $\mathbb{R}^n$, Riemann-integrierbar ist ein hinreichendes Kriterium) mit $\int_\Omega f(x) dx = 1$. Dann ist auf $\Omega$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert durch:
+
+$$
+\text{für } A \subseteq \Omega \text{ Ereignis } P(A) := \int_A f(x) dx
+$$
+
+Wir nennen für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß $P$, welches sich so schreiben lässt, die Funktion $f$ eine *Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion* (probability density function, pdf) oder kurz *Dichte* (gelegentlich Wahrscheinlichkeitsmassefunktion, pmf).
+:::
+
+Gegeben eine reelle Zufallsvariable $X \colon \Omega \to \mathbb{R}$, deren Verteilung $P_X$ durch eine Dichte $f$ gegeben ist, gilt also für $A \subseteq \mathbb{R}$
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+$$
+\int_{X^{-1}(A)} d\omega = P(X \in A) = P_X(A) = \int_A f(x) dx
+$$
+
+Dieses rechte Integral ist nun ein Integral im Wertebereich von $X$.
+Analog können wir auch den Erwartungswert und die Varianz berechnen:
+
+$$
+\mathbb{E}(X) = \int_\Omega X(\omega) d \omega = \int_{\mathbb{R}} x f(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx
+$$
+
+$$
+\mathbb{V}(X) &= \int_\Omega \left(X(\omega)-\mathbb{E}(X)\right)^2 d \omega \\
+              &= \int_{-\infty}^{\infty} \left(x-\mathbb{E}(X)\right)^2 f(x) dx \\
+              &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x) dx  - {\left( \mathbb{E}(X) \right)}^2
+$$
+
+:::{admonition} Beispiel
+Seien $a < b \in \mathbb{R}$. Mit $\Omega = \mathbb{R}^1$ und $f \colon \mathbb{R} \to [0,\infty)$ gegeben durch
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+$$
+f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & \text{ wenn } x \in [a,b] \\ 0 & \text{ sonst} \end{cases}
+$$
+
+ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathbb{R}$ definiert, die *stetige Gleichverteilung* auf dem Intervall $[a,b]$.
+Der Erwartungswert (wir nutzen $\int x dx = \frac{x^2}{2}$) ist $\mathbb{E}(X) =$
+
+$$
+\int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx = \int_a^b \frac{xdx}{b-a} = \frac{1}{b-a} \left[\frac{x^2}{2}\right]_a^b = \frac{b^2 -a^2}{2(b-a)} = \frac{(b+a)(b-a)}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}
+$$
+
+Das zweite Moment ist
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+$$
+\mathbb{E}(X^2) = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)dx = \left[ \frac{x^3}{3(b-a)} \right]_a^b = \frac{b^3-a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2+ab+b^2}{3}
+$$
+
+Die Varianz ist
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+$$
+\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^2) - {\left(\mathbb{E}(X)\right)}^2 =  \frac{a^2+ab+b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{(a-b)^2}{12}
+$$
+:::
+
+:::{admonition} Beispiel
+Nicht jedes Wahrscheinlichkeitsmaß erlaubt eine Darstellung mit einer Dichte:
+Betrachte auf $\mathbb{R}$ die Verteilung mit
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+$$
+P(A) = \begin{cases} 1 & \text{ wenn } 0 \in A \\ 0 & \text{ sonst} \end{cases}
+$$
+
+Diese Verteilung heißt *Dirac-Verteilung* mit Masse bei $0$. Wenn man sich sehr viel Mühe gibt, so etwas ähnliches wie eine Dichte zu basteln, so muss man zur Theorie der Distributionen aus der Funktionalanalysis greifen (Physiker kennen das). Es gibt auch Verteilungen, da genügt auch keine Distribution.
+:::
+
+:::{admonition} Definition
+Sei $(\Omega, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, dann nennen wir für eine Zufallsvariable $X \colon \Omega \to \mathbb{R}$x die Funktion
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+$$
+F \colon \mathbb{R} \to [0,1],\qquad x \mapsto P(X \leq x)
+$$
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+die *kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion* oder auch *Verteilungsfunktion* oder *cdf* (cumulative distribution function). Sie existiert immer, im Gegensatz zur Dichte (pdf).
+:::
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+:::{admonition} Beispiel
+Wenn $P_X$ eine Dichte $f \colon \mathbb{R} \to [0,\infty)$ hat,
+also $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)dx$, so ist
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+$$
+F(x) = \int_{-\infty}^x f(x)dx.
+$$
+:::