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Stetige Verteilungen

:::{admonition} Definition Sei X \colon \Omega \to \mathbb{R} eine Zufallsvariable, d.h. \Omega ein Wahrscheinlichkeitsraum (eine Menge \Omega zusammen mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß P_\Omega) und X eine Abbildung, sodass P(X \in A) := P_\Omega(X^{-1}(A)) für alle Ereignisse A \subseteq \mathbb{R} definiert ist.

Wenn \Omega kein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist (z.B. weil \Omega eine überabzählbar unendliche Menge ist, etwa \Omega = \mathbb{R}^n), und X unendlich viele mögliche Werte annimmt, nennen wir X eine stetige Zufallsvariable. :::

:::{admonition} Definition Man nennt die kleinste Menge A \subset \mathbb{R} mit P(X \in A)=1 den Träger von X und schreibt auch

supp(X) = \overline{\bigcap \{ A \subseteq \mathbb{R} : P(X \in A) = 1 \}} :::

Der Träger ist auch für diskrete reelle Zufallsvariablen definiert - der offensichtliche Unterschied ist, dass per definitionem diskrete Zufallsvariablen einen diskreten Träger haben (d.h. eine Menge reeller Zahlen, die keinen Häufungspunkt hat, insbesondere kein Intervall enthält).

Dichtefunktionen

:::{admonition} Definition Sei \Omega \subset \mathbb{R}^n und f \colon \Omega \to [0,\infty) eine integrierbare Funktion (bezüglich des Lebesgue-Maßes auf \mathbb{R}^n, Riemann-integrierbar ist ein hinreichendes Kriterium) mit \int_\Omega f(x) dx = 1. Dann ist auf \Omega ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert durch:

\text{für } A \subseteq \Omega \text{ Ereignis } P(A) := \int_A f(x) dx

Wir nennen für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß P, welches sich so schreiben lässt, die Funktion f eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (probability density function, pdf) oder kurz Dichte (gelegentlich Wahrscheinlichkeitsmassefunktion, pmf). :::

Gegeben eine reelle Zufallsvariable X \colon \Omega \to \mathbb{R}, deren Verteilung P_X durch eine Dichte f gegeben ist, gilt also für A \subseteq \mathbb{R}

\int_{X^{-1}(A)} d\omega = P(X \in A) = P_X(A) = \int_A f(x) dx

Dieses rechte Integral ist nun ein Integral im Wertebereich von X. Analog können wir auch den Erwartungswert und die Varianz berechnen:

\mathbb{E}(X) = \int_\Omega X(\omega) d \omega = \int_{\mathbb{R}} x f(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx

\mathbb{V}(X) &= \int_\Omega \left(X(\omega)-\mathbb{E}(X)\right)^2 d \omega \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left(x-\mathbb{E}(X)\right)^2 f(x) dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x) dx - {\left( \mathbb{E}(X) \right)}^2

:::{admonition} Beispiel Seien a < b \in \mathbb{R}. Mit \Omega = \mathbb{R}^1 und f \colon \mathbb{R} \to [0,\infty) gegeben durch

f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & \text{ wenn } x \in [a,b] \\ 0 & \text{ sonst} \end{cases}

ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf \mathbb{R} definiert, die stetige Gleichverteilung auf dem Intervall [a,b]. Der Erwartungswert (wir nutzen \int x dx = \frac{x^2}{2}) ist \mathbb{E}(X) =

\int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx = \int_a^b \frac{xdx}{b-a} = \frac{1}{b-a} \left[\frac{x^2}{2}\right]_a^b = \frac{b^2 -a^2}{2(b-a)} = \frac{(b+a)(b-a)}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}

Das zweite Moment ist

\mathbb{E}(X^2) = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)dx = \left[ \frac{x^3}{3(b-a)} \right]_a^b = \frac{b^3-a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2+ab+b^2}{3}

Die Varianz ist

\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^2) - {\left(\mathbb{E}(X)\right)}^2 = \frac{a^2+ab+b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{(a-b)^2}{12} :::

:::{admonition} Beispiel Nicht jedes Wahrscheinlichkeitsmaß erlaubt eine Darstellung mit einer Dichte: Betrachte auf \mathbb{R} die Verteilung mit

P(A) = \begin{cases} 1 & \text{ wenn } 0 \in A \\ 0 & \text{ sonst} \end{cases}

Diese Verteilung heißt Dirac-Verteilung mit Masse bei 0. Wenn man sich sehr viel Mühe gibt, so etwas ähnliches wie eine Dichte zu basteln, so muss man zur Theorie der Distributionen aus der Funktionalanalysis greifen (Physiker kennen das). Es gibt auch Verteilungen, da genügt auch keine Distribution. :::

:::{admonition} Definition Sei (\Omega, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, dann nennen wir für eine Zufallsvariable X \colon \Omega \to \mathbb{R} die Funktion

F \colon \mathbb{R} \to [0,1],\qquad x \mapsto P(X \leq x)

die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion oder auch Verteilungsfunktion oder cdf (cumulative distribution function). Sie existiert immer, im Gegensatz zur Dichte (pdf). :::

:::{admonition} Beispiel Wenn P_X eine Dichte f \colon \mathbb{R} \to [0,\infty) hat, also P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)dx, so ist

F(x) = \int_{-\infty}^x f(x)dx. :::