fix typo

ea86c34c · Michael Leuschel · 39699390 · ea86c34c
Commit ea86c34c authored Apr 18, 2020 by Michael Leuschel
--- a/info4/kapitel-0/Mengentheorie.ipynb
+++ b/info4/kapitel-0/Mengentheorie.ipynb
@@ -187,25 +187,25 @@
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 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Theoretische Informatik - Vorlesung 0 - Teil 2 Mengentheorie
 April 2020
 Michael Leuschel
 Heinrich-Heine Universität Düsseldorf
 Grundlagen der Logik und Mengentheorie sind nicht im Skript.
 Hier definieren wir einige Grundlagen und Notationen die im Skript verwendet werden.
 Ein gutes Verständnis dieser Grundlagen und Notationen ist für das Verständnis des Skripts, aber auch anderer Teile der Informatik unumgänglich.
 Auswertung der Formeln erfolgt mit dem [Jupyter kernel](https://gitlab.cs.uni-duesseldorf.de/general/stups/prob2-jupyter-kernel) für [ProB](https://www3.hhu.de/stups/prob)
 Um dieses Notebook zu starten kann man entweder selber Jupyter und den [ProB Kernel](https://gitlab.cs.uni-duesseldorf.de/general/stups/prob2-jupyter-kernel) installieren.
 Man kann aber auch die Notebooks vom Browser aus mit Binder starten (das dauert besonders beim ersten Mal etwas länger):
 [![Binder](https://mybinder.org/badge_logo.svg)](https://mybinder.org/v2/git/https%3A%2F%2Fgitlab.cs.uni-duesseldorf.de%2Fgeneral%2Fstups%2Fprob-teaching-notebooks/master)
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Mengen
 Fundamentale Idee der Mengentheorie:
 * _"The ability to regard any collection of objects as a single entity (i.e., as a set)."_  (Keith Devlin. Joy of Sets.)
 In der Regel gibt es eine Domäne an "Objekten" aus denen man Mengen bauen kann.
 Was genau diese Objekte sind interessiert uns in der Mengentheorie nicht.
 Fundamental sind diese beiden Symbole:
 * wenn $a$ ein Objekt ist und $x$ eine Menge, dann
 * ist $a \in x$ wahr, wenn $a$ ein Element von $x$ ist
 * ist $a \not\in x$ wahr, wenn $a$ **kein** Element von $x$ ist.
 $\in$ und $\not\in$ sind Prädikate, verbunden durch die Eigenschaft:
 * $\forall(a,x).(a\not\in x \Leftrightarrow \neg(a \in x))$
 Eine besondere Menge ist die leere Menge $\emptyset$.
 Sie hat keine Elemente:
 * $z = \emptyset \Leftrightarrow \forall(a).(a\not\in z)$
 Zwei Mengen $x$ und $y$ sind gleich gdw wenn sie die gleichen Elemente haben:
 * $\forall(x,y).(x=y \Leftrightarrow \forall(a).(a\in x \Leftrightarrow a \in y))$
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ∅ = {1}
 ```
 %% Output
    $\mathit{FALSE}$
    FALSE
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {1} = {1,2}
 ```
 %% Output
    $\mathit{FALSE}$
    FALSE
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {1,2} = {1,2}
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    TRUE
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Notationen für Mengen: endliche Enumeration
 * explizite Auflistung aller Elemente $\{a_1,\ldots,a_n\}$
 * die Reihenfolge spielt keine Rolle:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {2,5,3} = {2,3,5}
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    TRUE
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Dies ist im Unterschied zu Tupeln und Listen, die oft mit runden und eckigen Klammern geschriben werden:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (2,5,3) = (2,3,5)
 ```
 %% Output
    $\mathit{FALSE}$
    FALSE
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
-[2,5,3] = [2,5,3]
+[2,5,3] = [2,3,5]
 ```
 %% Output
-    $\mathit{TRUE}$
+    $\mathit{FALSE}$
-    TRUE
+    FALSE
 %% Cell type:markdown id: tags:
 * Elemente können in der Enumeration mehrfach auftauchen:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {2,5,3,2,5} = {2,3,5}
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    TRUE
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Vereinigung, Schnitt, Differenz
 Drei wichtige Operationen auf Mengen sind wie folgt.
 Vereinigung von Mengen $\cup$ :
 * $z = x\cup y \Leftrightarrow \forall(a).(a\in z \Leftrightarrow (a\in x \vee a \in y))$
 Schnitt von Mengen $\cap$:
 * $z = x\cap y \Leftrightarrow \forall(a).(a\in z \Leftrightarrow (a\in x \wedge a \in y))$
 Differenz von Mengen $\setminus$:
 * $z = x \setminus y \Leftrightarrow \forall(a).(a\in z \Leftrightarrow (a\in x \wedge a \not\in y))$
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {2,3,5} ∪ {5,7}
 ```
 %% Output
    $\{2,3,5,7\}$
    {2,3,5,7}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {2,3,5}∩{5,7}
 ```
 %% Output
    $\{5\}$
    {5}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {2,3,5}−{5,7}
 ```
 %% Output
    $\{2,3\}$
    {2,3}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Notationen für Mengen: per Prädikat
 Definition der Elemente durch ein Prädikat $\{a \mid P(a)\}$:
 *  $z = \{a \mid P(a)\} \Leftrightarrow \forall(a).(a\in z \equiv P(a))$
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {a | a>1 & a<6 & a≠4}
 ```
 %% Output
    $\{2,3,5\}$
    {2,3,5}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Man kann damit auch unendliche Mengen darstellen:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {a | a>10}
 ```
 %% Output
    $\{\mathit{a}\mid \mathit{a} > 10\}$
    {a∣a > 10}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {a | a mod 2  = 0} ∩ {2,3,5}
 ```
 %% Output
    $\{2\}$
    {2}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Man kann damit auch die drei Mengenoperationen definieren:
 * $x \cup y = \{a \mid a\in x \vee a\in y\}$
 * $x \cap y = \{a \mid a\in x \wedge a\in y\}$
 * $x \setminus y = \{a \mid a\in x \wedge a\not\in y\}$
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 x = {2,3} & y = {2,5} & xy = {a| a∈x ∨ a∈y}
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    **Solution:**
    * $\mathit{xy} = \{2,3,5\}$
    * $\mathit{x} = \{2,3\}$
    * $\mathit{y} = \{2,5\}$
    TRUE
    Solution:
    	xy = {2,3,5}
    	x = {2,3}
    	y = {2,5}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 x = {2,3} & y = {2,5} & xy = {a| a∈x ∧ a∈y}
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    **Solution:**
    * $\mathit{xy} = \{2\}$
    * $\mathit{x} = \{2,3\}$
    * $\mathit{y} = \{2,5\}$
    TRUE
    Solution:
    	xy = {2}
    	x = {2,3}
    	y = {2,5}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 x = {2,3} & y = {2,5} & xy = {a| a∈x ∧ a∉y}
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    **Solution:**
    * $\mathit{xy} = \{3\}$
    * $\mathit{x} = \{2,3\}$
    * $\mathit{y} = \{2,5\}$
    TRUE
    Solution:
    	xy = {3}
    	x = {2,3}
    	y = {2,5}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Als Kürzel führen wir auch die Notation $a..b$ für $\{x \mid x \geq a \wedge x \leq b\}$ ein.
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 1..10
 ```
 %% Output
    $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
    {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Ein Theorem (Distributivgesetz 1)
 Für alle Mengen $x$, $y$, $z$ gilt:
 * $x \cup (y \cap z) = (x\cup y) \cap (x\cup z)$
 <img src="./img/Venn.pdf" width="300">
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {2,3,55}∪({2,44,77}∩{2,44,66})
 ```
 %% Output
    $\{2,3,44,55\}$
    {2,3,44,55}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ({2,3,55}∪{2,44,77})∩({2,3,55}∪{2,44,66})
 ```
 %% Output
    $\{2,3,44,55\}$
    {2,3,44,55}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 ## Beweis von  $x \cup (y \cap z) = (x\cup y) \cap (x\cup z)$
 Lemmata:
 1.  $x \cup y = \{a \mid a\in x \vee a\in y\}$
 2.  $x \cap y = \{a \mid a\in x \wedge a\in y\}$
 3.  $a \in \{b \mid P(b)\} \equiv P(a)$
 4.  $\phi \vee (\psi \wedge \rho) \equiv (\phi \vee \psi) \wedge (\phi \vee \rho)$
 Ãquivalenzbeweis
 1.  $x \cup (y \cap z)$
 2. (Lemma 1) $\Longleftrightarrow$ $\{a \mid a\in x \vee a\in (y \cap z)\}$
 3. (Lemma 2) $\Longleftrightarrow$ $\{a \mid a\in x \vee a\in \{b \mid b\in y \wedge b\in z\} \}$
 4. (Lemma 3) $\Longleftrightarrow$ $\{a \mid a\in x \vee (a\in y \wedge a\in z) \}$
 5. (Lemma 4) $\Longleftrightarrow$ $\{a \mid (a\in x \vee a\in y) \wedge (a\in x \vee a\in z) \}$
 6. (Lemma 3, $\Leftarrow$) $\Longleftrightarrow$ $\{a \mid a\in \{b \mid b\in x \vee b\in y\}  \wedge a\in \{b \mid b\in x \vee b\in z\} \}$
 7. (Lemma 1, $\Leftarrow$) $\Longleftrightarrow$ $\{a \mid a\in x \cup y \wedge a\in x \cup z) \}$
 8. (Lemma 2, $\Leftarrow$) $(x\cup y) \cap (x\cup z)$
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Gesetze
 Für alle Mengen $x$, $y$, $z$ gilt:
 * $x \cup y = y \cup x$  (Kommutativ 1)
 * $x \cap y = y \cap x$  (Kommutativ 2)
 * $x \cup (y \cup z) = (x\cup y) \cup z$  (Assoziativ 1)
 * $x \cap (y \cap z) = (x\cap y) \cap z$  (Assoziativ 2)
 * $x \cup (y \cap z) = (x\cup y) \cap (x\cup z)$  (Distributiv 1, siehe oben)
 * $x \cap (y \cup z) = (x\cap y) \cup (x\cap z)$  (Distributiv 2)
 * $z \setminus (x \cup y) = (z\setminus x) \cap (z\setminus y)$  (De Morgan 1)
 * $z \setminus (x \cap y) = (z\setminus x) \cup (z\setminus y)$  (De Morgan 2)
 * $x \cup \emptyset = x$  (Leere Menge 1)
 * $x \cap \emptyset = \emptyset$  (Leere Menge 2)
 * $x \cap (z \setminus x) = \emptyset$  (Leere Menge 3)
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (1..10) \ ({2,4,6,8} ∪ {5,10})  // De Morgan 1 - linke Seite
 ```
 %% Output
    $\{1,3,7,9\}$
    {1,3,7,9}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (1..10) \ {2,4,6,8}
 ```
 %% Output
    $\{1,3,5,7,9,10\}$
    {1,3,5,7,9,10}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (1..10) \ {5,10}
 ```
 %% Output
    $\{1,2,3,4,6,7,8,9\}$
    {1,2,3,4,6,7,8,9}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ((1..10) \ {2,4,6,8}) ∩ ((1..10) \ {5,10})  // De Morgan 1 - rechte Seite
 ```
 %% Output
    $\{1,3,7,9\}$
    {1,3,7,9}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Gesetze von De Morgan:  $Op1(  x  ~ Op2 ~   y)$  wird umgewandelt nach $Op1(x) ~ Op2' ~ Op1(y)$, wo Op2' der duale Operator von Op2 ist.
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {2,4} ∩ (ℤ \ {2,4})
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\emptyset$
    ∅
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Teilmenge
 Eine Menge $x$ ist eine Teilmenge oder Untermenge von $y$ wenn gilt:
 * $\forall a. a\in x \Rightarrow a \in y$
 Wir benutzen diese Schreibweise $x \subseteq y$.
 In diesem Fall ist $y$ auch eine Obermenge von $y$, geschrieben als $y \supseteq x$.
 Für die echte Teilmenge benutzen wir folgende Schreibweise und Definition:
 * $x \subset y$ $\Leftrightarrow$ $(x \subseteq y \wedge x\neq y)$.
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 x={1,3} ∧ y = 1..5 ∧ ∀a.(a∈x ⇒ a∈y)
 ```
 %% Output
    $\newcommand{\upto}{\mathbin{.\mkern1mu.}}\mathit{TRUE}$
    **Solution:**
    * $\mathit{x} = \{1,3\}$
    * $\mathit{y} = (1 \upto 5)$
    TRUE
    Solution:
    	x = {1,3}
    	y = (1 ‥ 5)
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 x={1,3} ∧ y = 1..5 ∧ ∀a.(a∈y ⇒ a∈x)
 ```
 %% Output
    $\mathit{FALSE}$
    FALSE
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {1,3} ⊂ 1..5
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    TRUE
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Kardinalität
 Die Anzahl der Elemente einer Menge $x$ schreiben wir als
 * $\mid x\mid$ oder auch als $card(x)$ (B Schreibweise).
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card({1,2,3})
 ```
 %% Output
    $3$
    3
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card({1,1,2,3,2})
 ```
 %% Output
    $3$
    3
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card(∅)
 ```
 %% Output
    $0$
    0
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Achtung, die Kardinalität kann auch unendlich sein: je nach Formalismus, ist folgender Ausdruck entweder unendlich oder nicht wohl definiert: $\mid \{x \mid x>0\} \mid$
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card({x|x>0})
 ```
 %% Output
    :eval: NOT-WELL-DEFINED:
    card applied to very large set, cardinality not representable in ProB:  closure([x],[integer],b(greater(b(identifier(...),integer,[...]),b(value(...),integer,[...])),pred,[nodeid(pos(...))]))
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # SEND+MORE=MONEY
 Klassisches arithmetisches Puzzle wo acht unterschiedliche Ziffern gefunden werden sollen die folgende Gleichung erfüllen:
 |   |   |   |   |   |
 |---|---|---|---|---|
 |   | S | E | N | D |
 | + | M | O | R | E |
 |
 |= M| O | N | E | Y |
 |   |   |   |   |   |
 Wir können dies nun in Logik, Mengentheorie und Arithmetik modellieren und lösen.
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Wir haben acht Ziffern:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {S,E,N,D,M,O,R,Y} ⊆ 0..9
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    **Solution:**
    * $\mathit{R} = 0$
    * $\mathit{S} = 0$
    * $\mathit{D} = 0$
    * $\mathit{E} = 0$
    * $\mathit{Y} = 0$
    * $\mathit{M} = 0$
    * $\mathit{N} = 0$
    * $\mathit{O} = 0$
    TRUE
    Solution:
    	R = 0
    	S = 0
    	D = 0
    	E = 0
    	Y = 0
    	M = 0
    	N = 0
    	O = 0
 %% Cell type:markdown id: tags:
 diese Ziffern sind alle unterschiedlich:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {S,E,N,D,M,O,R,Y} ⊆ 0..9 ∧
 card({S,E,N,D,M,O,R,Y}) = 8
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    **Solution:**
    * $\mathit{R} = 1$
    * $\mathit{S} = 7$
    * $\mathit{D} = 4$
    * $\mathit{E} = 6$
    * $\mathit{Y} = 0$
    * $\mathit{M} = 3$
    * $\mathit{N} = 5$
    * $\mathit{O} = 2$
    TRUE
    Solution:
    	R = 1
    	S = 7
    	D = 4
    	E = 6
    	Y = 0
    	M = 3
    	N = 5
    	O = 2
 %% Cell type:markdown id: tags:
 und wobei die zwei führenden Ziffern S und M ungleich 0 sind:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {S,E,N,D,M,O,R,Y} ⊆ 0..9 ∧ card({S,E,N,D,M,O,R,Y}) = 8 ∧
 S ≠ 0 & M ≠ 0
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    **Solution:**
    * $\mathit{R} = 1$
    * $\mathit{S} = 7$
    * $\mathit{D} = 4$
    * $\mathit{E} = 6$
    * $\mathit{Y} = 0$
    * $\mathit{M} = 3$
    * $\mathit{N} = 5$
    * $\mathit{O} = 2$
    TRUE
    Solution:
    	R = 1
    	S = 7
    	D = 4
    	E = 6
    	Y = 0
    	M = 3
    	N = 5
    	O = 2
 %% Cell type:markdown id: tags:
 und wo die Summe von SEND+MORE MONEY ergibt:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {S,E,N,D,M,O,R,Y} ⊆ 0..9 ∧ card({S,E,N,D,M,O,R,Y}) = 8 ∧ S ≠ 0 & M ≠ 0 ∧
   S*1000 + E*100 + N*10 + D +
   M*1000 + O*100 + R*10 + E =
  M*10000 + O*1000 + N*100 + E*10 + Y
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    **Solution:**
    * $\mathit{R} = 8$
    * $\mathit{S} = 9$
    * $\mathit{D} = 7$
    * $\mathit{E} = 5$
    * $\mathit{Y} = 2$
    * $\mathit{M} = 1$
    * $\mathit{N} = 6$
    * $\mathit{O} = 0$
    TRUE
    Solution:
    	R = 8
    	S = 9
    	D = 7
    	E = 5
    	Y = 2
    	M = 1
    	N = 6
    	O = 0
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Aber ist dies die einzige Lösung ? Wir können einfach die Menge aller Lösungen berechnen:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
  {S,E,N,D, M,O,R, Y |
   {S,E,N,D, M,O,R, Y} ⊆ 0..9 ∧ S >0 ∧ M >0 ∧
   card({S,E,N,D, M,O,R, Y}) = 8 ∧
   S*1000 + E*100 + N*10 + D +
   M*1000 + O*100 + R*10 + E =
   M*10000 + O*1000 + N*100 + E*10 + Y }
 ```
 %% Output
    $\{(9\mapsto 5\mapsto 6\mapsto 7\mapsto 1\mapsto 0\mapsto 8\mapsto 2)\}$
    {(9↦5↦6↦7↦1↦0↦8↦2)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :table   {S,E,N,D, M,O,R, Y |
   {S,E,N,D, M,O,R, Y} ⊆ 0..9 ∧  S >0 ∧ M >0 ∧
   card({S,E,N,D, M,O,R, Y}) = 8 ∧
   S*1000 + E*100 + N*10 + D +
   M*1000 + O*100 + R*10 + E =
   M*10000 + O*1000 + N*100 + E*10 + Y }
 ```
 %% Output
    |S|E|N|D|M|O|R|Y|
    |---|---|---|---|---|---|---|---|
    |$9$|$5$|$6$|$7$|$1$|$0$|$8$|$2$|
    S	E	N	D	M	O	R	Y
    9	5	6	7	1	0	8	2
 %% Cell type:markdown id: tags:
 |   |   |   |   |   |
 |---|---|---|---|---|
 |   | S=9 | E=5 | N=6 | D=7 |
 | + | M=1 | O=0 | R=8 | E=5 |
 |
 |= M=1| O=0 | N=6 | E=5 | Y=2 |
 |   |   |   |   |   |
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Ein anderes arithmetisches Puzzle ist KISS*KISS=PASSION.
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :table {K, I, S, P, A, O, N |
    {K,P} ⊆ 1..9 ∧
    {I,S,A,O,N} ⊆ 0..9 ∧
    (1000*K+100*I+10*S+S) * (1000*K+100*I+10*S+S)
     =  1000000*P+100000*A+10000*S+1000*S+100*I+10*O+N &
    card({K, I, S, P, A, O, N}) = 7}
 ```
 %% Output
    |K|I|S|P|A|O|N|
    |---|---|---|---|---|---|---|
    |$2$|$0$|$3$|$4$|$1$|$8$|$9$|
    K	I	S	P	A	O	N
    2	0	3	4	1	8	9
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Mengen von Mengen
 Mengen können selber auch Mengen beinhalten
 Dies sind alles unterschiedliche Mengen:
 * $\{\{2\},\{3,4\}\}$
 * $\{\{2,3\},\{4\}\}$
 * $\{\{2,3\},\{3,4\}\}$
 * $\{\{2,3,4\}\}$
 * $\{2,3,4\}$
 Wir haben zum Beispiel:
 * $\mathit{card}(\{\{2,3,4\}\}) = 1$
 * $\mathit{card}(\{\{2\},\{3,4\}\}) = 2$
 * $\mathit{card}(\{2,3,4\}) = 3$
 * $\{2\} \in  \{\{2\},\{3,4\}\} $
 * $\{2\} \not\in  \{\{2,3\},\{4\}\} $
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card({2,3,4})
 ```
 %% Output
    $3$
    3
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card({{2,3,4}})
 ```
 %% Output
    $1$
    1
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card({{2},{3,4}})
 ```
 %% Output
    $2$
    2
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {2} ∈ {{2}, {3,4}}
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    TRUE
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {2} ∈ {{2,3}, {4}}
 ```
 %% Output
    $\mathit{FALSE}$
    FALSE
 %% Cell type:markdown id: tags:
 ## Mengen von Mengen und die leere Menge
 Achtung: man muss die leere Menge von der Menge die die leere Menge beinhaltet unterscheiden:
 * $\emptyset \neq \{\emptyset\}$
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ∅ = {∅}
 ```
 %% Output
    $\mathit{FALSE}$
    FALSE
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card(∅)
 ```
 %% Output
    $0$
    0
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card({∅})
 ```
 %% Output
    $1$
    1
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ∅ ∈ {∅}
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    TRUE
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ∅ ∈ ∅
 ```
 %% Output
    $\mathit{FALSE}$
    FALSE
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ∅ ∉ ∅
 ```
 %% Output
    $\mathit{TRUE}$
    TRUE
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Potenzmenge
 Die Menge aller Untermengen einer Menge $A$ schreiben wir als $\pow(\mathit{A}) $ oder auch als $2^{A}$.
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 POW({1,2})
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{2\}\}$
    {∅,{1},{1,2},{2}}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 POW(∅)
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{\emptyset\}$
    {∅}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 POW(1..3)
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{1,3\},\{2\},\{1,2,3\},\{2,3\},\{3\}\}$
    {∅,{1},{1,2},{1,3},{2},{1,2,3},{2,3},{3}}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :table POW(1..3)
 ```
 %% Output
    |Elements|
    |---|
    |$\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\emptyset$|
    |$\{1\}$|
    |$\{1,2\}$|
    |$\{1,3\}$|
    |$\{2\}$|
    |$\{1,2,3\}$|
    |$\{2,3\}$|
    |$\{3\}$|
    Elements
    {}
    {1}
    {1,2}
    {1,3}
    {2}
    {1,2,3}
    {2,3}
    {3}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :table POW(POW({1}))
 ```
 %% Output
    |Elements|
    |---|
    |$\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\emptyset$|
    |$\{\emptyset\}$|
    |$\{\emptyset,\{1\}\}$|
    |$\{\{1\}\}$|
    Elements
    {}
    {{}}
    {{},{1}}
    {{1}}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card(POW(1..3))
 ```
 %% Output
    $8$
    8
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card(POW(1..10))
 ```
 %% Output
    $1024$
    1024
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card(POW(1..100))
 ```
 %% Output
    $1267650600228229401496703205376$
    1267650600228229401496703205376
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card(POW(POW(1..7)))
 ```
 %% Output
    $340282366920938463463374607431768211456$
    340282366920938463463374607431768211456
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card(POW(POW(POW(1..3))))
 ```
 %% Output
    $115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936$
    115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Relationen in der Mengentheorie
 * Was ist eine Relation?
 * Wie kann man Relationen in Mengentheorie und Logik abbilden?
 * https://en.wikipedia.org/wiki/Finitary\_relation}:
 * _In set theory and logic, a relation is a property that assigns truth values to k-tuples of individuals. Typically, the property describes a possible connection between the components of a k-tuple._
 * k-Tupel: $(1,2)$  (k=2, Paar)
 * Eine Relation weist k-Tupeln Wahrheitswerte zu:
 * Beispiel: $(1,2) \mapsto TRUE$, $(2,1) \mapsto FALSE$.
 ## Unäre Relationen
 Eine unäre Relation über $x$ entspricht einfach einer Untermenge von $x$:
 * die Menge an Werten für die die Relation wahr ist.
     \end{itemize}
 Beispiele:
 * Relation ``Ziffer'' über die ganzen Zahlen ist
 * $0 .. 9 \subseteq$ ℤ
 * Relation ``Gt0'' über die ganzen Zahlen ist
 * $\{ \mathit{x}|\mathit{x} \in $ℤ $\wedge  \mathit{x} > 0\}  \subseteq$ ℤ.
 * Relation ``Gerade'' über die ganzen Zahlen ist
 * $\{ \mathit{x}|\mathit{x} \in $ ℤ $\wedge  \mathit{x} \mod 2 = 0\}  \subseteq$ ℤ.
 ## Relationen vs Prädikate
 Relationen ist die explizite Darstellung eines Prädikats als Menge:
 * Prädikate können mit logischen Junktoren und Quantoren verarabeitet werden:
 * $\exists x. is\_rich(x)$, $\forall x.(is\_poor(x) \Rightarrow \neg is\_rich(x))$
 * Relationen können mit mengentheoretischen Operationen verarbeitet werden:
 *  $rich \neq \emptyset$,  $rich \cap poor = \emptyset$.
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Kartesisches Produkt und Paare
 Das kartesische Produkt $x \times y$ zweier Mengen $x$ und $y$ ist definiert als
 * $\{ (a,b) \mid a\in x \wedge b\in y\}$.
 $(a,b)$ steht hier für ein geordnetes Paar,
      d.h. $(1 \mapsto  2) \neq  (2 \mapsto  1) $.
 Wir schreiben manchmal auch $a \mapsto b$ anstatt $(a,b)$.
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (1 .. 2) × (4 .. 5)
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 4),(1\mapsto 5),(2\mapsto 4),(2\mapsto 5)\}$
    {(1↦4),(1↦5),(2↦4),(2↦5)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (1 .. 2) × {4}
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 4),(2\mapsto 4)\}$
    {(1↦4),(2↦4)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (1 .. 2) × BOOL
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto \mathit{FALSE}),(1\mapsto \mathit{TRUE}),(2\mapsto \mathit{FALSE}),(2\mapsto \mathit{TRUE})\}$
    {(1↦FALSE),(1↦TRUE),(2↦FALSE),(2↦TRUE)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (1 .. 3) × (1 .. 3)
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 1),(1\mapsto 2),(1\mapsto 3),(2\mapsto 1),(2\mapsto 2),(2\mapsto 3),(3\mapsto 1),(3\mapsto 2),(3\mapsto 3)\}$
    {(1↦1),(1↦2),(1↦3),(2↦1),(2↦2),(2↦3),(3↦1),(3↦2),(3↦3)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card((1..10)×(1..10))
 ```
 %% Output
    $100$
    100
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Das Kartesische Produkt ist nicht kommutativ:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {2}×{3}
 ```
 %% Output
    $\{(2\mapsto 3)\}$
    {(2↦3)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {3}×{2}
 ```
 %% Output
    $\{(3\mapsto 2)\}$
    {(3↦2)}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Es gilt:
 * $A \times B = \emptyset \equiv (A = \emptyset \vee B=\emptyset)$.
 Das Kartesische Produkt wird auch Kreuzmenge oder Produktmenge genannt.
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Binäre Relationen
 Eine binäre Relation über $x$ und $y$ ist eine Untermenge des kartesischen Produkts $x \times y$ zweier Mengen. Die Mengen $x$ und $y$ können identisch sein.
 Beispiel: die Relation ``kleiner'' über die Ziffern $0..9$:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {a,b| (a,b)∈(1..9)×(1..9) ∧ a<b}
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 2),(1\mapsto 3),(1\mapsto 4),(1\mapsto 5),(1\mapsto 6),(1\mapsto 7),(1\mapsto 8),(1\mapsto 9),(2\mapsto 3),(2\mapsto 4),(2\mapsto 5),(2\mapsto 6),(2\mapsto 7),(2\mapsto 8),(2\mapsto 9),(3\mapsto 4),(3\mapsto 5),(3\mapsto 6),(3\mapsto 7),(3\mapsto 8),(3\mapsto 9),(4\mapsto 5),(4\mapsto 6),(4\mapsto 7),(4\mapsto 8),(4\mapsto 9),(5\mapsto 6),(5\mapsto 7),(5\mapsto 8),(5\mapsto 9),(6\mapsto 7),(6\mapsto 8),(6\mapsto 9),(7\mapsto 8),(7\mapsto 9),(8\mapsto 9)\}$
    {(1↦2),(1↦3),(1↦4),(1↦5),(1↦6),(1↦7),(1↦8),(1↦9),(2↦3),(2↦4),(2↦5),(2↦6),(2↦7),(2↦8),(2↦9),(3↦4),(3↦5),(3↦6),(3↦7),(3↦8),(3↦9),(4↦5),(4↦6),(4↦7),(4↦8),(4↦9),(5↦6),(5↦7),(5↦8),(5↦9),(6↦7),(6↦8),(6↦9),(7↦8),(7↦9),(8↦9)}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Diese Relation ist eine Untermenge von ℤ×ℤ.
 Ein anderes Beispiel ist die Relation ``halb'' über die ganzen Zahlen $1..10$:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {a,b| a∈1..10 ∧ b∈1..10 ∧ b*2=a}
 ```
 %% Output
    $\{(2\mapsto 1),(4\mapsto 2),(6\mapsto 3),(8\mapsto 4),(10\mapsto 5)\}$
    {(2↦1),(4↦2),(6↦3),(8↦4),(10↦5)}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Eine binäre Relation kann auch als gerichteter Graph angesehen werden:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("halb",{a,b| a∈1..10 ∧ b∈1..10 & b*2=a})
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [("halb",{a,b|a:1..10 & b:1..10 & b*2=a})]>
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Die Typen der Elemente kann abweichen.
 Zum Beispiel die Relation ``durch drei teilbar'' über die ganzen Zahlen $1..7$ zum Datentypen $STRING$
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {x,y| x:1..7 ∧ (x mod 3 =0 => y = "ja") ∧ (x mod 3 >0 => y= "nein")}
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto\text{"nein"}),(2\mapsto\text{"nein"}),(3\mapsto\text{"ja"}),(4\mapsto\text{"nein"}),(5\mapsto\text{"nein"}),(6\mapsto\text{"ja"}),(7\mapsto\text{"nein"})\}$
    {(1↦"nein"),(2↦"nein"),(3↦"ja"),(4↦"nein"),(5↦"nein"),(6↦"ja"),(7↦"nein")}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("teilbar",{x,y| x:1..7 ∧ (x mod 3 =0 => y = "ja") ∧ (x mod 3 >0 => y= "nein")})
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [("teilbar",{x,y|x:1..7 & (x mod 3=0 => y="ja") & (x mod 3>0 => y="nein")})]>
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Das Kartesische Produkt stellt die Relation dar die immer wahr ist (für die angegebenen Basismengen). Als Graph ist dies der vollständige Graph über die Basismengen:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :pref DOT_ENGINE=circo
 ```
 %% Output
    Preference changed: DOT_ENGINE = circo
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("K5",(1..5)×(1..5))
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [("K5",(1..5)*(1..5))]>
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :pref DOT_ENGINE=circo
 ```
 %% Output
    Preference changed: DOT_ENGINE = circo
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("K10",(1..10)×(1..10))
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [("K10",(1..10)*(1..10))]>
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("K20",(1..20)×(1..20))
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [("K20",(1..20)*(1..20))]>
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :pref DOT_ENGINE=dot
 ```
 %% Output
    Preference changed: DOT_ENGINE = dot
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Definitions- und Wertebereich
 Definitionsbereich (Domain in Englisch):
 * $dom(r) = \{a \mid \exists b.((a,b)\in r)\}$
 Wertebereich (Bildmenge, Range in Englisch):
 * $ran(r) = \{b \mid \exists a.((a,b)\in r)\}$
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :let h {a,b| a∈1..10 ∧ b∈1..10 & b*2=a}
 ```
 %% Output
    $\{(2\mapsto 1),(4\mapsto 2),(6\mapsto 3),(8\mapsto 4),(10\mapsto 5)\}$
    {(2↦1),(4↦2),(6↦3),(8↦4),(10↦5)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {a| ∃b.((a,b)∈h)}
 ```
 %% Output
    $\{2,4,6,8,10\}$
    {2,4,6,8,10}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {b| ∃a.((a,b)∈h)}
 ```
 %% Output
    $\{1,2,3,4,5\}$
    {1,2,3,4,5}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 dom(h)
 ```
 %% Output
    $\{2,4,6,8,10\}$
    {2,4,6,8,10}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :let h {a,b| a∈1..10 ∧ b∈1..10 & b*2=a}
 ```
 %% Output
    $\{(2\mapsto 1),(4\mapsto 2),(6\mapsto 3),(8\mapsto 4),(10\mapsto 5)\}$
    {(2↦1),(4↦2),(6↦3),(8↦4),(10↦5)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("h",h)
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [dhd={(1,"nein"),(2,"nein"),(3,"ja"),(4,"nein"),(5,"nein"),(6,"ja"),(7,"nein")} & h={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)}("h",h)]>
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :let d {x,y| x:1..7 ∧ (x mod 3 =0 => y = "ja") ∧ (x mod 3 >0 => y= "nein")}
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto\text{"nein"}),(2\mapsto\text{"nein"}),(3\mapsto\text{"ja"}),(4\mapsto\text{"nein"}),(5\mapsto\text{"nein"}),(6\mapsto\text{"ja"}),(7\mapsto\text{"nein"})\}$
    {(1↦"nein"),(2↦"nein"),(3↦"ja"),(4↦"nein"),(5↦"nein"),(6↦"ja"),(7↦"nein")}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 dom(d)
 ```
 %% Output
    $\{1,2,3,4,5,6,7\}$
    {1,2,3,4,5,6,7}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ran(d)
 ```
 %% Output
    $\{\text{"ja"},\text{"nein"}\}$
    {"ja","nein"}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("d",d)
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [dhd={(1,"nein"),(2,"nein"),(3,"ja"),(4,"nein"),(5,"nein"),(6,"ja"),(7,"nein")} & h={(2,1)}("d",d)]>
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Relationales Abbild und Umkehrrelation
 Abbild:
 * $r[A] = \{b \mid \exists a.((a,b)\in r \wedge a\in A)\}$
 Umkehrrelation:
 * $r^{-1} = \{(b,a) \mid  (a,b)\in r \}$\\
 Im Notebook muss für die Umkehrrelation leider Tilde (~) verwendet werden:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 h[8..10]
 ```
 %% Output
    $\{4,5\}$
    {4,5}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 d[{3,6}]
 ```
 %% Output
    $\{\text{"ja"}\}$
    {"ja"}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 d[{0}]
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\emptyset$
    ∅
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 d~
 ```
 %% Output
    $\{(\text{"ja"}\mapsto 3),(\text{"ja"}\mapsto 6),(\text{"nein"}\mapsto 1),(\text{"nein"}\mapsto 2),(\text{"nein"}\mapsto 4),(\text{"nein"}\mapsto 5),(\text{"nein"}\mapsto 7)\}$
    {("ja"↦3),("ja"↦6),("nein"↦1),("nein"↦2),("nein"↦4),("nein"↦5),("nein"↦7)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("d~",d~)
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [dhd={(1,"nein"),(2,"nein"),(3,"ja"),(4,"nein"),(5,"nein"),(6,"ja"),(7,"nein")} & h={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)}("d~",d~)]>
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Man kann natürlich auch beide Operatore verknüpfen, zum Beispiel um herauszufinden welche Zahlen durch 3 teilbar sind:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 d~[{"ja"}]
 ```
 %% Output
    $\{3,6\}$
    {3,6}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :unlet d
 ```
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 # Binäre Relationen - Verknüpfung
 Wir können Relationen $r_1$ und $r_2$ mit dem Operator ``;'' verknüpfen:
 * $(r_1 ; r_2)$ = $\{(a,c) \mid \exists b. ( (a,b)\in r_1 \wedge (b,c)\in r_2)\}$.
 ```
 %% Output
    $1 = 2$
    1 = 2
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ({1↦2, 2↦3} ; {2↦4, 2↦8})
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 4),(1\mapsto 8)\}$
    {(1↦4),(1↦8)}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Man kann eine Relation auch mit sich selber verknüpfen wenn Werte- und Definitionsbereich kompatibel sind.
 Zum Beispiel $h^2 = (h;h)$:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (h ; h)
 ```
 %% Output
    $\{(4\mapsto 1),(8\mapsto 2)\}$
    {(4↦1),(8↦2)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("h",h,"hh",(h;h))
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [dhd={(1,"nein"),(2,"nein"),(3,"ja"),(4,"nein"),(5,"nein"),(6,"ja"),(7,"nein")} & h={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)}("h",h)]>
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("hh",(h;h))
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [dhd={(1,"nein"),(2,"nein"),(3,"ja"),(4,"nein"),(5,"nein"),(6,"ja"),(7,"nein")} & h={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)}("hh",(h;h))]>
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("h",(h))
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [dhd={(1,"nein"),(2,"nein"),(3,"ja"),(4,"nein"),(5,"nein"),(6,"ja"),(7,"nein")} & h={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)}("h",h)]>
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Transitive und Reflexive Hülle
 Gegeben eine Relation $r$ von $A$ nach $A$
 *  $r^1 = r$
 *  $r^k = (r^{k-1} ; r) = (r ; r^{k-1})$
 * $r^+$ = $\bigcup_{i\geq 1} r^i$
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (h;h)
 ```
 %% Output
    $\{(4\mapsto 1),(8\mapsto 2)\}$
    {(4↦1),(8↦2)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (h;h;h)
 ```
 %% Output
    $\{(8\mapsto 1)\}$
    {(8↦1)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (h;h;h;h)
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\emptyset$
    ∅
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Die transitive Hülle wird in B als ```closure1``` geschrieben:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 closure1(h)
 ```
 %% Output
    $\{(2\mapsto 1),(4\mapsto 1),(4\mapsto 2),(6\mapsto 3),(8\mapsto 1),(8\mapsto 2),(8\mapsto 4),(10\mapsto 5)\}$
    {(2↦1),(4↦1),(4↦2),(6↦3),(8↦1),(8↦2),(8↦4),(10↦5)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("h+",closure1(h))
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [ArhA={1,2,3} & r={(1,2),(2,3)} & h={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)}("h+",closure1(h))]>
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Ein weiteres Beispiel ist folgende abgeänderte strikte Untermengenrelation $\subset$ für $\pow(1 .. 3) $:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :let sub1 {x,y|y:POW(1..3) & x <<:y & card(x)+1=card(y)}
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{(\emptyset\mapsto\{1\}),(\emptyset\mapsto\{2\}),(\emptyset\mapsto\{3\}),(\{1\}\mapsto\{1,2\}),(\{1\}\mapsto\{1,3\}),(\{1,2\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{1,3\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{2\}\mapsto\{1,2\}),(\{2\}\mapsto\{2,3\}),(\{2,3\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{3\}\mapsto\{1,3\}),(\{3\}\mapsto\{2,3\})\}$
    {(∅↦{1}),(∅↦{2}),(∅↦{3}),({1}↦{1,2}),({1}↦{1,3}),({1,2}↦{1,2,3}),({1,3}↦{1,2,3}),({2}↦{1,2}),({2}↦{2,3}),({2,3}↦{1,2,3}),({3}↦{1,3}),({3}↦{2,3})}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :pref DOT_DECOMPOSE_NODES=false
 ```
 %% Output
    Preference changed: DOT_DECOMPOSE_NODES = false
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph  ("sub1",sub1)
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [Arsub1hA={1,2,3} & r={(1,2),(2,3)} & sub1={({},{1}),({},{2}),({},{3}),({1},{1,2}),({1},{1,3}),({1,2},{1,2,3}),({1,3},{1,2,3}),({2},{1,2}),({2},{2,3}),({2,3},{1,2,3}),({3},{1,3}),({3},{2,3})} & h={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)}("sub1",sub1)]>
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph  ("sub1",closure1(sub1))
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [Arsub1hA={1,2,3} & r={(1,2),(2,3)} & sub1={({},{1}),({},{2}),({},{3}),({1},{1,2}),({1},{1,3}),({1,2},{1,2,3}),({1,3},{1,2,3}),({2},{1,2}),({2},{2,3}),({2,3},{1,2,3}),({3},{1,3}),({3},{2,3})} & h={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)}("sub1",closure1(sub1))]>
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Transitive und Reflexive Hülle
 Gegeben eine Relation $r$ von $A$ nach $A$
 *  $r^0 = \{(a,a) \mid a\in A\}$
 *  $r^1 = r$
 *  $r^k = (r^{k-1} ; r) = (r ; r^{k-1})$
 *  $r^*$ = $\bigcup_{i\geq 0} r^i$
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :let A {1,2,3}
 ```
 %% Output
    $\{1,2,3\}$
    {1,2,3}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :let r {(1,2), (2,3)}
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 2),(2\mapsto 3)\}$
    {(1↦2),(2↦3)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("r",r)
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [Arsub1hA={1,2,3} & r={(1,2),(2,3)} & sub1={({},{1}),({},{2}),({},{3}),({1},{1,2}),({1},{1,3}),({1,2},{1,2,3}),({1,3},{1,2,3}),({2},{1,2}),({2},{2,3}),({2,3},{1,2,3}),({3},{1,3}),({3},{2,3})} & h={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)}("r",r)]>
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (r;r)
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 3)\}$
    {(1↦3)}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 In B kann man $r^0$ auch als die Identitätsrelation über A beschreiben:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 id(A)
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 1),(2\mapsto 2),(3\mapsto 3)\}$
    {(1↦1),(2↦2),(3↦3)}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Die transitive und reflexive Hülle ist hier:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 id(A) \/ r \/ (r;r) \/ (r;r;r) \/ (r;r;r;r)
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 1),(1\mapsto 2),(1\mapsto 3),(2\mapsto 2),(2\mapsto 3),(3\mapsto 3)\}$
    {(1↦1),(1↦2),(1↦3),(2↦2),(2↦3),(3↦3)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("r*",id(A) \/ r \/ (r;r) \/ (r;r;r) \/ (r;r;r;r))
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [ArhA={1,2,3} & r={(1,2),(2,3)} & h={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)}("r*",id(A)\/r\/(r;r)\/((r;r);r)\/(((r;r);r);r))]>
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Als Vergleich dazu sieht die transitive Hülle so aus:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 closure1(r)
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 2),(1\mapsto 3),(2\mapsto 3)\}$
    {(1↦2),(1↦3),(2↦3)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("r+",closure1(r))
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [ArhA={1,2,3} & r={(1,2),(2,3)} & h={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)}("r+",closure1(r))]>
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Man kann die transitive Hülle natürlich mit den anderen Operatoren verknüpfen, zum Beispiel um auszurechnen von welchen Knoten aus man den Knoten 3 erreichen kann:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 closure1(r)~[{3}]
 ```
 %% Output
    $\{1,2\}$
    {1,2}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Anmerkung: die reflexive und transitive Hülle in B wird als ```closure``` geschrieben, ist bei Relationen über Zahlen immer unendlich.
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 closure(r)
 ```
 %% Output
    $/*@symbolic*/ \{\mathit{z\_},\mathit{z\_\_}\mid \mathit{z\_} \mapsto \mathit{z\_\_} \in \{(1\mapsto 2),(1\mapsto 3),(2\mapsto 3)\} \lor \mathit{z\_} = \mathit{z\_\_}\}$
    /*@symbolic*/ {z_,z__∣z_ ↦ z__ ∈ {(1↦2),(1↦3),(2↦3)} ∨ z_ = z__}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 closure(r)~[{3}]
 ```
 %% Output
    $\{1,2,3\}$
    {1,2,3}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :unlet r
 ```
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Funktionen
 Was unterscheidet Funktionen von Relationen?
 Wie kann man Funktionen in Mengentheorie und Logik darstellen?
 Eine Funktion kann als Menge an Paaren angesehen werden.
 Zum Beispiel ist die Inkrementfunktion (+1) eine unendliche Mengen an Paaren.
 Die linke Komponente des Paares ist die Eingabe der Funktion, die rechte Komponente die Ausgabe.
 Eingeschränkt auf den Bereich 1..10 sieht dies Funktion so aus:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 {x,y|x:1..10 & y=x+1}
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 2),(2\mapsto 3),(3\mapsto 4),(4\mapsto 5),(5\mapsto 6),(6\mapsto 7),(7\mapsto 8),(8\mapsto 9),(9\mapsto 10),(10\mapsto 11)\}$
    {(1↦2),(2↦3),(3↦4),(4↦5),(5↦6),(6↦7),(7↦8),(8↦9),(9↦10),(10↦11)}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Eine Funktion kann also als Mengen von Paaren dargestellt werden. Es sind aber nicht alle Mengen an Paaren auch Funktionen. Zum Beispiel, unsere Relation sub1 von oben ist keine Funktion:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph  ("sub1",sub1)
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [Arsub1hA={1,2,3} & r={(1,2),(2,3)} & sub1={({},{1}),({},{2}),({},{3}),({1},{1,2}),({1},{1,3}),({1,2},{1,2,3}),({1,3},{1,2,3}),({2},{1,2}),({2},{2,3}),({2,3},{1,2,3}),({3},{1,3}),({3},{2,3})} & h={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)}("sub1",sub1)]>
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Die Eingabe ```{1}``` hat zwei mögliche Ausgaben (Nachfolger): ```{1,3}``` und ```{1,2}```. Die Eingabe $\emptyset$ hat drei mögliche Ausgaben:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 sub1
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{(\emptyset\mapsto\{1\}),(\emptyset\mapsto\{2\}),(\emptyset\mapsto\{3\}),(\{1\}\mapsto\{1,2\}),(\{1\}\mapsto\{1,3\}),(\{1,2\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{1,3\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{2\}\mapsto\{1,2\}),(\{2\}\mapsto\{2,3\}),(\{2,3\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{3\}\mapsto\{1,3\}),(\{3\}\mapsto\{2,3\})\}$
    {(∅↦{1}),(∅↦{2}),(∅↦{3}),({1}↦{1,2}),({1}↦{1,3}),({1,2}↦{1,2,3}),({1,3}↦{1,2,3}),({2}↦{1,2}),({2}↦{2,3}),({2,3}↦{1,2,3}),({3}↦{1,3}),({3}↦{2,3})}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Eine (totale) Funktion $F$ von $A$ nach $B$ ist
 * eine Relation von $A$ nach $B$ (also eine Untermenge von $A\times B$),so dass
 * $\forall a.( a\in A \Rightarrow  \exists b.( (a,b) \in F))$
 * $\forall (a,b,c).(((a,b)\in F \wedge (a,c)\in F) \Rightarrow b=c)$
 Wir schreiben dann $F \in A \rightarrow B$.
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ∀(a,b,c).((a,b)∈sub1 & (a,c)∈sub1 ⇒ b=c)
 ```
 %% Output
    $\mathit{FALSE}$
    FALSE
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 sub1 ∈ POW(1..3) --> POW(1..3)
 ```
 %% Output
    $\mathit{FALSE}$
    FALSE
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :let i10 {x,y|x:1..10 & y=x+1}
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 2),(2\mapsto 3),(3\mapsto 4),(4\mapsto 5),(5\mapsto 6),(6\mapsto 7),(7\mapsto 8),(8\mapsto 9),(9\mapsto 10),(10\mapsto 11)\}$
    {(1↦2),(2↦3),(3↦4),(4↦5),(5↦6),(6↦7),(7↦8),(8↦9),(9↦10),(10↦11)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ∀(a,b,c).((a,b)∈i10 & (a,c)∈i10 ⇒ b=c)
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\mathit{TRUE}$
    **Solution:**
    * $\mathit{A} = \{1,2,3\}$
    * $\mathit{r} = \{(1\mapsto 2),(2\mapsto 3)\}$
    * $\mathit{sub1} = \{(\emptyset\mapsto\{1\}),(\emptyset\mapsto\{2\}),(\emptyset\mapsto\{3\}),(\{1\}\mapsto\{1,2\}),(\{1\}\mapsto\{1,3\}),(\{1,2\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{1,3\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{2\}\mapsto\{1,2\}),(\{2\}\mapsto\{2,3\}),(\{2,3\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{3\}\mapsto\{1,3\}),(\{3\}\mapsto\{2,3\})\}$
    * $\mathit{h} = \{(2\mapsto 1),(4\mapsto 2),(6\mapsto 3),(8\mapsto 4),(10\mapsto 5)\}$
    * $\mathit{i10} = \{(1\mapsto 2),(2\mapsto 3),(3\mapsto 4),(4\mapsto 5),(5\mapsto 6),(6\mapsto 7),(7\mapsto 8),(8\mapsto 9),(9\mapsto 10),(10\mapsto 11)\}$
    TRUE
    Solution:
    	A = {1,2,3}
    	r = {(1↦2),(2↦3)}
    	sub1 = {(∅↦{1}),(∅↦{2}),(∅↦{3}),({1}↦{1,2}),({1}↦{1,3}),({1,2}↦{1,2,3}),({1,3}↦{1,2,3}),({2}↦{1,2}),({2}↦{2,3}),({2,3}↦{1,2,3}),({3}↦{1,3}),({3}↦{2,3})}
    	h = {(2↦1),(4↦2),(6↦3),(8↦4),(10↦5)}
    	i10 = {(1↦2),(2↦3),(3↦4),(4↦5),(5↦6),(6↦7),(7↦8),(8↦9),(9↦10),(10↦11)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 i10 ∈ 1..10 --> 2..11
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\mathit{TRUE}$
    **Solution:**
    * $\mathit{A} = \{1,2,3\}$
    * $\mathit{r} = \{(1\mapsto 2),(2\mapsto 3)\}$
    * $\mathit{sub1} = \{(\emptyset\mapsto\{1\}),(\emptyset\mapsto\{2\}),(\emptyset\mapsto\{3\}),(\{1\}\mapsto\{1,2\}),(\{1\}\mapsto\{1,3\}),(\{1,2\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{1,3\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{2\}\mapsto\{1,2\}),(\{2\}\mapsto\{2,3\}),(\{2,3\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{3\}\mapsto\{1,3\}),(\{3\}\mapsto\{2,3\})\}$
    * $\mathit{h} = \{(2\mapsto 1),(4\mapsto 2),(6\mapsto 3),(8\mapsto 4),(10\mapsto 5)\}$
    * $\mathit{i10} = \{(1\mapsto 2),(2\mapsto 3),(3\mapsto 4),(4\mapsto 5),(5\mapsto 6),(6\mapsto 7),(7\mapsto 8),(8\mapsto 9),(9\mapsto 10),(10\mapsto 11)\}$
    TRUE
    Solution:
    	A = {1,2,3}
    	r = {(1↦2),(2↦3)}
    	sub1 = {(∅↦{1}),(∅↦{2}),(∅↦{3}),({1}↦{1,2}),({1}↦{1,3}),({1,2}↦{1,2,3}),({1,3}↦{1,2,3}),({2}↦{1,2}),({2}↦{2,3}),({2,3}↦{1,2,3}),({3}↦{1,3}),({3}↦{2,3})}
    	h = {(2↦1),(4↦2),(6↦3),(8↦4),(10↦5)}
    	i10 = {(1↦2),(2↦3),(3↦4),(4↦5),(5↦6),(6↦7),(7↦8),(8↦9),(9↦10),(10↦11)}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Anmerkung: es wird nicht geprüft ob der komplette Wertebereich abgedeckt wird:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 i10 ∈ 1..10 --> 0..100
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\mathit{TRUE}$
    **Solution:**
    * $\mathit{A} = \{1,2,3\}$
    * $\mathit{r} = \{(1\mapsto 2),(2\mapsto 3)\}$
    * $\mathit{sub1} = \{(\emptyset\mapsto\{1\}),(\emptyset\mapsto\{2\}),(\emptyset\mapsto\{3\}),(\{1\}\mapsto\{1,2\}),(\{1\}\mapsto\{1,3\}),(\{1,2\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{1,3\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{2\}\mapsto\{1,2\}),(\{2\}\mapsto\{2,3\}),(\{2,3\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{3\}\mapsto\{1,3\}),(\{3\}\mapsto\{2,3\})\}$
    * $\mathit{h} = \{(2\mapsto 1),(4\mapsto 2),(6\mapsto 3),(8\mapsto 4),(10\mapsto 5)\}$
    * $\mathit{i10} = \{(1\mapsto 2),(2\mapsto 3),(3\mapsto 4),(4\mapsto 5),(5\mapsto 6),(6\mapsto 7),(7\mapsto 8),(8\mapsto 9),(9\mapsto 10),(10\mapsto 11)\}$
    TRUE
    Solution:
    	A = {1,2,3}
    	r = {(1↦2),(2↦3)}
    	sub1 = {(∅↦{1}),(∅↦{2}),(∅↦{3}),({1}↦{1,2}),({1}↦{1,3}),({1,2}↦{1,2,3}),({1,3}↦{1,2,3}),({2}↦{1,2}),({2}↦{2,3}),({2,3}↦{1,2,3}),({3}↦{1,3}),({3}↦{2,3})}
    	h = {(2↦1),(4↦2),(6↦3),(8↦4),(10↦5)}
    	i10 = {(1↦2),(2↦3),(3↦4),(4↦5),(5↦6),(6↦7),(7↦8),(8↦9),(9↦10),(10↦11)}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Es wird aber wohl geprüft ob der Definitionsbereich komplett abgedeckt wird:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 i10 ∈ 2..10 --> 0..100
 ```
 %% Output
    $\mathit{FALSE}$
    FALSE
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 i10 ∈ 0..10 --> 0..100
 ```
 %% Output
    $\mathit{FALSE}$
    FALSE
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Was kann man mit Funktionen machen? Da Funktionen *nur* besondere Relationen sind, und Relationen *nur* besondere Mengen sind, kann man alle Mengen und Relationsoperatoren anwenden:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (4,z) ∈ i10
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\mathit{TRUE}$
    **Solution:**
    * $\mathit{A} = \{1,2,3\}$
    * $\mathit{r} = \{(1\mapsto 2),(2\mapsto 3)\}$
    * $\mathit{sub1} = \{(\emptyset\mapsto\{1\}),(\emptyset\mapsto\{2\}),(\emptyset\mapsto\{3\}),(\{1\}\mapsto\{1,2\}),(\{1\}\mapsto\{1,3\}),(\{1,2\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{1,3\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{2\}\mapsto\{1,2\}),(\{2\}\mapsto\{2,3\}),(\{2,3\}\mapsto\{1,2,3\}),(\{3\}\mapsto\{1,3\}),(\{3\}\mapsto\{2,3\})\}$
    * $\mathit{h} = \{(2\mapsto 1),(4\mapsto 2),(6\mapsto 3),(8\mapsto 4),(10\mapsto 5)\}$
    * $\mathit{i10} = \{(1\mapsto 2),(2\mapsto 3),(3\mapsto 4),(4\mapsto 5),(5\mapsto 6),(6\mapsto 7),(7\mapsto 8),(8\mapsto 9),(9\mapsto 10),(10\mapsto 11)\}$
    * $\mathit{z} = 5$
    TRUE
    Solution:
    	A = {1,2,3}
    	r = {(1↦2),(2↦3)}
    	sub1 = {(∅↦{1}),(∅↦{2}),(∅↦{3}),({1}↦{1,2}),({1}↦{1,3}),({1,2}↦{1,2,3}),({1,3}↦{1,2,3}),({2}↦{1,2}),({2}↦{2,3}),({2,3}↦{1,2,3}),({3}↦{1,3}),({3}↦{2,3})}
    	h = {(2↦1),(4↦2),(6↦3),(8↦4),(10↦5)}
    	i10 = {(1↦2),(2↦3),(3↦4),(4↦5),(5↦6),(6↦7),(7↦8),(8↦9),(9↦10),(10↦11)}
    	z = 5
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 dom(i10)
 ```
 %% Output
    $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
    {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ran(i10)
 ```
 %% Output
    $\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$
    {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 i10[{4,5}]
 ```
 %% Output
    $\{5,6\}$
    {5,6}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 i10[{4}]
 ```
 %% Output
    $\{5\}$
    {5}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 i10~[{4}]
 ```
 %% Output
    $\{3\}$
    {3}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (i10 ; i10)[{4}]
 ```
 %% Output
    $\{6\}$
    {6}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 closure1(i10)[{4}]
 ```
 %% Output
    $\{5,6,7,8,9,10,11\}$
    {5,6,7,8,9,10,11}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 closure1(i10~)[{4}]
 ```
 %% Output
    $\{1,2,3\}$
    {1,2,3}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Anmerkung: um den Wert einer Funktion $F$ für eine Eingabe $x$ zu berechnen, kann man das relationale Bild $F[\{x\}]$ verwenden. Aber: das Ergebnis ist eine Menge! Man kann also nicht direkt zB arithmetische Operatoren anwenden. Dafür wird eine neue Operation für Funktionen eingeführt: die **Funktionsanwendung**: ```F(x)```.
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 i10(4)
 ```
 %% Output
    $5$
    5
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 i10(4) + i10(4)
 ```
 %% Output
    $10$
    10
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Es ist ein Fehler eine Funktion ausserhalb des Definitionsbereiches anzuwenden. Beim relationalen Bild ist dies erlaubt und man bekommt dort die leere Menge als Ausgabe.
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 i10[{100}]
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\emptyset$
    ∅
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 i10(100)
 ```
 %% Output
    :eval: NOT-WELL-DEFINED:
    function applied outside of domain (#7):  Function argument: 100, function value: {}
     ### Line: 1, Column: 316 until 324
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Alle möglichen Funktionen über einen Definitionsbereich ergeben wieder eine Menge:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 1..2 --> 1..2
 ```
 %% Output
    $\{\{(1\mapsto 1),(2\mapsto 1)\},\{(1\mapsto 1),(2\mapsto 2)\},\{(1\mapsto 2),(2\mapsto 1)\},\{(1\mapsto 2),(2\mapsto 2)\}\}$
    {{(1↦1),(2↦1)},{(1↦1),(2↦2)},{(1↦2),(2↦1)},{(1↦2),(2↦2)}}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Es gibt auch noch andere Arten an Funktionen:
 * partielle Funktionen, +->
 * injektive (umkehrbare) Funktionen >->
 * surjektive Funktionen die den Wertebereich komplett abdecken -->>
 * injektive und surjektive Funktionen >->>, auch Bijektionen gennant
 (Die Pfeilsymbole sind sehr spezifisch für die B Sprache. Wir werden diese nicht im Skript verwenden.)
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 1..2 +-> 1..2
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{\emptyset,\{(1\mapsto 1)\},\{(1\mapsto 1),(2\mapsto 1)\},\{(1\mapsto 1),(2\mapsto 2)\},\{(1\mapsto 2)\},\{(1\mapsto 2),(2\mapsto 1)\},\{(1\mapsto 2),(2\mapsto 2)\},\{(2\mapsto 1)\},\{(2\mapsto 2)\}\}$
    {∅,{(1↦1)},{(1↦1),(2↦1)},{(1↦1),(2↦2)},{(1↦2)},{(1↦2),(2↦1)},{(1↦2),(2↦2)},{(2↦1)},{(2↦2)}}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Folgende fünf Funktionen sind partiell und nicht total:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 (1..2 +-> 1..2) \ (1..2 --> 1..2)
 ```
 %% Output
    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{\emptyset,\{(1\mapsto 1)\},\{(1\mapsto 2)\},\{(2\mapsto 1)\},\{(2\mapsto 2)\}\}$
    {∅,{(1↦1)},{(1↦2)},{(2↦1)},{(2↦2)}}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Das sind die totalen umkehrbaren Funktionen:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 1..2 >-> 1..2
 ```
 %% Output
    $\{\{(1\mapsto 1),(2\mapsto 2)\},\{(1\mapsto 2),(2\mapsto 1)\}\}$
    {{(1↦1),(2↦2)},{(1↦2),(2↦1)}}
 %% Cell type:markdown id: tags:
 In diesem Falle sind diese identisch zu den surjektiven Funktionen und den Bijektionen:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 1..2 -->> 1..2
 ```
 %% Output
    $\{\{(1\mapsto 1),(2\mapsto 2)\},\{(1\mapsto 2),(2\mapsto 1)\}\}$
    {{(1↦1),(2↦2)},{(1↦2),(2↦1)}}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 1..2 >->> 1..2
 ```
 %% Output
    $\{\{(1\mapsto 1),(2\mapsto 2)\},\{(1\mapsto 2),(2\mapsto 1)\}\}$
    {{(1↦1),(2↦2)},{(1↦2),(2↦1)}}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :unlet i10
 ```
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Endliche Folgen
 Es gibt verschiedene Schreibweisen für endliche Folgen. \\
 Zum Beispiel $[1,2]$ ist eine Folge bestehend aus der Zahl 1 gefolgt von der Zahl 2.
 (Anmerkung: Im Skript werden wir eine andere Schreibweise verwenden. Zum Beispiel, $ab$ ist die
 Folge bestehen aus dem Symbol $a$ gefolgt von $b$.
 Diese Schreibweise ist zwar kompakter, aber nicht immer eindeutig und nicht für eine maschinelle Verarbeitung geeeignet.)
 Was unterscheidet Folgen von Mengen?
 Wie kann man Folgen in Mengentheorie und Logik darstellen?
 ## Endliche Folgen vs Mengen
 Die Reihenfolge der Elemente ist wichtig:
 * $[1,2] \neq  [2,1] $, während
 * $\{1,2\} = \{2,1\} $
 Elemente können mehrfach auftauchen:
 * $[1,1] \neq  [1] $, während
 * $\{1,1\} = \{1\} $
 Wie kann man Folgen in Mengentheorie und Logik darstellen?
 %% Cell type:markdown id: tags:
 ## Endliche Folgen mathematisch gesehen
 Eine (endliche) Folge $G$ von $A$ Elementen der Länge $n$ ist
 * eine (totale) Funktion von $1..n$ nach $A$.
 Da eine totale Funktion eine Menge an Paare ist, haben wir zum Beispiel:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :let G [22,22,33]
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 22),(2\mapsto 22),(3\mapsto 33)\}$
    {(1↦22),(2↦22),(3↦33)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 G
 ```
 %% Output
    $\{(1\mapsto 22),(2\mapsto 22),(3\mapsto 33)\}$
    {(1↦22),(2↦22),(3↦33)}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("G",G)
 ```
 %% Output
    <Dot visualization: expr_as_graph [Arsub1Ghi10A={1,2,3} & r={(1,2),(2,3)} & sub1={({},{1}),({},{2}),({},{3}),({1},{1,2}),({1},{1,3}),({1,2},{1,2,3}),({1,3},{1,2,3}),({2},{1,2}),({2},{2,3}),({2,3},{1,2,3}),({3},{1,3}),({3},{2,3})} & G={(1,22),(2,22),(3,33)} & h={(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5)} & i10={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(10,11)}("G",G)]>
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Es gilt also
 * $G = [22,22,33]  = \{(1\mapsto 22),(2\mapsto 22),(3\mapsto 33)\}$
 Wir schreiben $\mathit{G} \in  \mathit{seq}$(ℤ)
         oder aber auch $G \in ℤ^*$ (mehr dazu später im Skript)
 Das n-te Element einer Folge $G$ ist einfach $G(n)$:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 G(2)
 ```
 %% Output
    $22$
    22
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Die Länge einer Folge (```size``` in B) ist einfach die Kardinalität der unterliegenden Relation:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 size(G)
 ```
 %% Output
    $3$
    3
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 card(G)
 ```
 %% Output
    $3$
    3
 %% Cell type:markdown id: tags:
 Wir können alle anderen Menge und Relationsoperatoren auf Folgen anwenden:
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 dom(G)
 ```
 %% Output
    $\{1,2,3\}$
    {1,2,3}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ran(G)
 ```
 %% Output
    $\{22,33\}$
    {22,33}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 G~[{22}]
 ```
 %% Output
    $\{1,2\}$
    {1,2}
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 :unlet G
 ```
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Zusammenfassung Mengentheorie
 * Mengen, Notationen (per Prädikat)
 * Potenzmenge, Menge von Mengen, $\phi \neq \{ \phi\}$
 * kartesisches Produkt, Relationen als Menge von Paaren/Tupeln
 * Definitionsbereich, Wertebereich, Abbild, Umkehrrelation
 * Transitive Hülle
 * Funktionen
 * Endliche Folgen als Funktion von $ℤ$ nach Wertebereich
 %% Cell type:markdown id: tags:
 # Lernziele von Kapitel 0
 * logische Formeln verstehen und schreiben können
 * logische Beweise verstehen: Wahrheitstabelle, Widerspruch, Deduktiver Beweis, Äuivalenzbeweis
 * Mengenausdrücke verstehen und nach Logik übbersetzen können
 * Problemstellungen nach Logik und Mengentheorie übersetzen können
 * Relationen, Funktionen und Folgen in Mengendarstellung bearbeiten können
 %% Cell type:code id: tags:
 ``` prob
 ```