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Commit 67195be0 authored by Michael Leuschel's avatar Michael Leuschel
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info4/kapitel-1/Grammatiken.ipynb
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%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Grammatiken ## Grammatiken
Dieses Notebook begleitet Teil 2 der Vorlesung 3. Dieses Notebook begleitet Teil 2 der Vorlesung 3.
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Eine __Grammatik__ ist ein Quadrupel Eine __Grammatik__ ist ein Quadrupel
$G = (\Sigma , N, S, P)$, wobei $G = (\Sigma , N, S, P)$, wobei
* $\Sigma$ ein Alphabet (von so genannten __Terminalsymbolen__) ist, * $\Sigma$ ein Alphabet (von so genannten __Terminalsymbolen__) ist,
* $N$ eine endliche Menge (von so genannten __Nichtterminalen__) mit * $N$ eine endliche Menge (von so genannten __Nichtterminalen__) mit
$\Sigma \cap N = \emptyset$, $\Sigma \cap N = \emptyset$,
* $S \in N$ das __Startsymbol__ und * $S \in N$ das __Startsymbol__ und
* $P \subseteq (N \cup \Sigma)^+ \times (N \cup \Sigma)^{\ast}$ die * $P \subseteq (N \cup \Sigma)^+ \times (N \cup \Sigma)^{\ast}$ die
endliche Menge der __Produktionen__ (Regeln). endliche Menge der __Produktionen__ (Regeln).
Diese mathematische Definition setzen wir im Notebook folgendermaßen um. Diese mathematische Definition setzen wir im Notebook folgendermaßen um.
Wir verwenden eine B Maschine um eine neue Basismenge an Symbolen (ΣN) einführen zu können. Wir verwenden eine B Maschine um eine neue Basismenge an Symbolen (ΣN) einführen zu können.
Hier steht ```seq1(T)``` für die nicht leeren Folgen über T, also $T^+$ in der Notation des Skripts. Hier steht ```seq1(T)``` für die nicht leeren Folgen über T, also $T^+$ in der Notation des Skripts.
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
::load ::load
MACHINE Grammatik MACHINE Grammatik
SETS ΣN = {a,b,c, S} SETS ΣN = {a,b,c, S}
CONSTANTS Σ, N, P CONSTANTS Σ, N, P
PROPERTIES PROPERTIES
Σ = {a,b,c} ∧ Σ = {a,b,c} ∧
Σ ∩ N = {} ∧ Σ ∩ N = {} ∧
Σ ∪ N = ΣN ∧ Σ ∪ N = ΣN ∧
S ∈ N ∧ S ∈ N ∧
P ⊆ seq1(ΣN) × seq(ΣN) ∧ P ⊆ seq1(ΣN) × seq(ΣN) ∧
// Die Beispiel Grammatik G1 von den Folien // Die Beispiel Grammatik G1 von den Folien
P = { [S] ↦ [], P = { [S] ↦ [],
[S] ↦ [a,S,b] [S] ↦ [a,S,b]
} }
DEFINITIONS SET_PREF_PP_SEQUENCES == TRUE DEFINITIONS SET_PREF_PP_SEQUENCES == TRUE
END END
``` ```
%% Output %% Output
Loaded machine: Grammatik Loaded machine: Grammatik
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
:constants :constants
``` ```
%% Output %% Output
Machine constants set up using operation 0: $setup_constants() Machine constants set up using operation 0: $setup_constants()
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
[S] ↦ RHS ∈ P [S] ↦ RHS ∈ P
``` ```
%% Output %% Output
$\newcommand{\qdot}{\mathord{\mkern1mu\cdot\mkern1mu}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\mathit{TRUE}$ $\newcommand{\qdot}{\mathord{\mkern1mu\cdot\mkern1mu}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\mathit{TRUE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{abl} = /*@symbolic*/ \{\mathit{u},\mathit{v}\mid\exists(\mathit{x},\mathit{z},\mathit{p},\mathit{q})\qdot(\mathit{p} \mapsto \mathit{q} \in \{([S]\mapsto []),([S]\mapsto [a,\mathit{S},b])\} \land \mathit{u} = \mathit{x} \expn \mathit{p} \expn \mathit{z} \land \mathit{v} = \mathit{x} \expn \mathit{q} \expn \mathit{z})\}$ * $\mathit{abl} = /*@symbolic*/ \{\mathit{u},\mathit{v}\mid\exists(\mathit{x},\mathit{z},\mathit{p},\mathit{q})\qdot(\mathit{p} \mapsto \mathit{q} \in \{([S]\mapsto []),([S]\mapsto [a,\mathit{S},b])\} \land \mathit{u} = \mathit{x} \expn \mathit{p} \expn \mathit{z} \land \mathit{v} = \mathit{x} \expn \mathit{q} \expn \mathit{z})\}$
* $\mathit{RHS} = []$ * $\mathit{RHS} = []$
TRUE TRUE
Solution: Solution:
abl = /*@symbolic*/ {u,v∣∃(x,z,p,q)·(p ↦ q ∈ {([S]↦[]),([S]↦[a,S,b])} ∧ u = x ^ p ^ z ∧ v = x ^ q ^ z)} abl = /*@symbolic*/ {u,v∣∃(x,z,p,q)·(p ↦ q ∈ {([S]↦[]),([S]↦[a,S,b])} ∧ u = x ^ p ^ z ∧ v = x ^ q ^ z)}
RHS = [] RHS = []
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Mit dem relationalen Bild können wir alle Regeln mit der Folge S auf der rechten Seite finden: Mit dem relationalen Bild können wir alle Regeln mit der Folge S auf der rechten Seite finden:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
P[{[S]}] P[{[S]}]
``` ```
%% Output %% Output
$\{[],[a,\mathit{S},b]\}$ $\{[],[a,\mathit{S},b]\}$
{[],[a,S,b]} {[],[a,S,b]}
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Definiere die __unmittelbare Ableitungsrelation__ bzgl. $G$ so Definiere die __unmittelbare Ableitungsrelation__ bzgl. $G$ so
* $u \vdash_{G} v \Longleftrightarrow u = xpz, v = xqz$, * $u \vdash_{G} v \Longleftrightarrow u = xpz, v = xqz$,
wobei $x,z \in (N \cup \Sigma)^{\ast}$ und $p \rightarrow q$ eine Regel in $P$ wobei $x,z \in (N \cup \Sigma)^{\ast}$ und $p \rightarrow q$ eine Regel in $P$
ist. ist.
Im Notebook können wir dies so umsetzen, können aber leider nicht das Symbol $\vdash_G$ verwenden. Im Notebook können wir dies so umsetzen, können aber leider nicht das Symbol $\vdash_G$ verwenden.
Aus $u \vdash_{G} v$ wird $u \mapsto v \in abl$. Aus $u \vdash_{G} v$ wird $u \mapsto v \in abl$.
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
:let abl {u,v | ∃(x,z,p,q).( p↦q ∈ P ∧ u = x^p^z ∧ v = x^q^z )} ::load
MACHINE Grammatik
SETS ΣN = {a,b,c, S}
CONSTANTS Σ, N, P
ABSTRACT_CONSTANTS abl
PROPERTIES
Σ = {a,b,c} ∧
Σ ∩ N = {} ∧
Σ ∪ N = ΣN ∧
S ∈ N ∧
P ⊆ seq1(ΣN) × seq(ΣN) ∧
// Die Beispiel Grammatik G1 von den Folien
P = { [S] ↦ [],
[S] ↦ [a,S,b]
}
∧
abl = {u,v | ∃(x,z,p,q).( p↦q ∈ P ∧ u = x^p^z ∧ v = x^q^z )}
DEFINITIONS SET_PREF_PP_SEQUENCES == TRUE
END
``` ```
%% Output %% Output
$\newcommand{\qdot}{\mathord{\mkern1mu\cdot\mkern1mu}}/*@symbolic*/ \{\mathit{u},\mathit{v}\mid\exists(\mathit{x},\mathit{z},\mathit{p},\mathit{q})\qdot(\mathit{p} \mapsto \mathit{q} \in \{([S]\mapsto []),([S]\mapsto [a,\mathit{S},b])\} \land \mathit{u} = \mathit{x} ⌒ \mathit{p} ⌒ \mathit{z} \land \mathit{v} = \mathit{x} ⌒ \mathit{q} ⌒ \mathit{z})\}$ Loaded machine: Grammatik
/*@symbolic*/ {u,v∣∃(x,z,p,q)·(p ↦ q ∈ {([S]↦[]),([S]↦[a,S,b])} ∧ u = x ⌒ p ⌒ z ∧ v = x ⌒ q ⌒ z)}
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:constants
```
%% Output
Machine constants set up using operation 0: $setup_constants()
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Da diese Relation unendlich ist wird diese im Notebook symbolisch gehalten. Wir können aber prüfen ob Paare an Folgen in der Relation sind: Da diese Relation unendlich ist wird diese im Notebook symbolisch gehalten. Wir können aber prüfen ob Paare an Folgen in der Relation sind:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
[S] ↦ [a,S,b] ∈ abl [S] ↦ [a,S,b] ∈ abl
``` ```
%% Output %% Output
$\newcommand{\qdot}{\mathord{\mkern1mu\cdot\mkern1mu}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\mathit{TRUE}$ $\newcommand{\qdot}{\mathord{\mkern1mu\cdot\mkern1mu}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\mathit{TRUE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{abl} = /*@symbolic*/ \{\mathit{u},\mathit{v}\mid\exists(\mathit{x},\mathit{z},\mathit{p},\mathit{q})\qdot(\mathit{p} \mapsto \mathit{q} \in \{([S]\mapsto []),([S]\mapsto [a,\mathit{S},b])\} \land \mathit{u} = \mathit{x} \expn \mathit{p} \expn \mathit{z} \land \mathit{v} = \mathit{x} \expn \mathit{q} \expn \mathit{z})\}$ * $\mathit{abl} = /*@symbolic*/ \{\mathit{u},\mathit{v}\mid\exists(\mathit{x},\mathit{z},\mathit{p},\mathit{q})\qdot(\mathit{p} \mapsto \mathit{q} \in \{([S]\mapsto []),([S]\mapsto [a,\mathit{S},b])\} \land \mathit{u} = \mathit{x} \expn \mathit{p} \expn \mathit{z} \land \mathit{v} = \mathit{x} \expn \mathit{q} \expn \mathit{z})\}$
TRUE TRUE
Solution: Solution:
abl = /*@symbolic*/ {u,v∣∃(x,z,p,q)·(p ↦ q ∈ {([S]↦[]),([S]↦[a,S,b])} ∧ u = x ^ p ^ z ∧ v = x ^ q ^ z)} abl = /*@symbolic*/ {u,v∣∃(x,z,p,q)·(p ↦ q ∈ {([S]↦[]),([S]↦[a,S,b])} ∧ u = x ^ p ^ z ∧ v = x ^ q ^ z)}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
[S] ↦ [a,b] ∈ abl [S] ↦ [a,b] ∈ abl
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{FALSE}$ $\mathit{FALSE}$
FALSE FALSE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
[S] ↦ x : abl [S] ↦ x : abl
``` ```
%% Output %% Output
$\newcommand{\qdot}{\mathord{\mkern1mu\cdot\mkern1mu}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\mathit{TRUE}$ $\newcommand{\qdot}{\mathord{\mkern1mu\cdot\mkern1mu}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\mathit{TRUE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{x} = []$ * $\mathit{x} = []$
* $\mathit{abl} = /*@symbolic*/ \{\mathit{u},\mathit{v}\mid\exists(\mathit{x},\mathit{z},\mathit{p},\mathit{q})\qdot(\mathit{p} \mapsto \mathit{q} \in \{([S]\mapsto []),([S]\mapsto [a,\mathit{S},b])\} \land \mathit{u} = \mathit{x} \expn \mathit{p} \expn \mathit{z} \land \mathit{v} = \mathit{x} \expn \mathit{q} \expn \mathit{z})\}$ * $\mathit{abl} = /*@symbolic*/ \{\mathit{u},\mathit{v}\mid\exists(\mathit{x},\mathit{z},\mathit{p},\mathit{q})\qdot(\mathit{p} \mapsto \mathit{q} \in \{([S]\mapsto []),([S]\mapsto [a,\mathit{S},b])\} \land \mathit{u} = \mathit{x} \expn \mathit{p} \expn \mathit{z} \land \mathit{v} = \mathit{x} \expn \mathit{q} \expn \mathit{z})\}$
TRUE TRUE
Solution: Solution:
x = [] x = []
abl = /*@symbolic*/ {u,v∣∃(x,z,p,q)·(p ↦ q ∈ {([S]↦[]),([S]↦[a,S,b])} ∧ u = x ^ p ^ z ∧ v = x ^ q ^ z)} abl = /*@symbolic*/ {u,v∣∃(x,z,p,q)·(p ↦ q ∈ {([S]↦[]),([S]↦[a,S,b])} ∧ u = x ^ p ^ z ∧ v = x ^ q ^ z)}
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Mit dem relationalen Abbild können wir die Menge aller Umschreibungen berrechnen: Mit dem relationalen Abbild können wir die Menge aller Umschreibungen berrechnen:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
abl[ {[S]} ] abl[ {[S]} ]
``` ```
%% Output %% Output
$\{[],[a,\mathit{S},b]\}$ $\{[],[a,\mathit{S},b]\}$
{[],[a,S,b]} {[],[a,S,b]}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
abl[ {[a,S,b]} ] abl[ {[a,S,b]} ]
``` ```
%% Output %% Output
$\{[a,b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b]\}$ $\{[a,b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b]\}$
{[a,b],[a,a,S,b,b]} {[a,b],[a,a,S,b,b]}
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Durch mehrfache Anwendung bekommen wir die Ergebnisse von immer längeren Ableitungen: Durch mehrfache Anwendung bekommen wir die Ergebnisse von immer längeren Ableitungen:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
abl[ abl[ {[S]} ] ] abl[ abl[ {[S]} ] ]
``` ```
%% Output %% Output
$\{[a,b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b]\}$ $\{[a,b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b]\}$
{[a,b],[a,a,S,b,b]} {[a,b],[a,a,S,b,b]}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
abl[ abl[ abl[ {[S]} ] ] ] abl[ abl[ abl[ {[S]} ] ] ]
``` ```
%% Output %% Output
$\{[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$ $\{[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$
{[a,a,b,b],[a,a,a,S,b,b,b]} {[a,a,b,b],[a,a,a,S,b,b,b]}
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Durch $n$-malige Anwendung von $\vdash_{G}$ erhalten wir Durch $n$-malige Anwendung von $\vdash_{G}$ erhalten wir
$\vdash_{G}^{n}$. Das heiß t: $\vdash_{G}^{n}$. Das heiß t:
* $u \vdash_{G}^{n} v \Longleftrightarrow u = x_0 \vdash_{G} x_1 * $u \vdash_{G}^{n} v \Longleftrightarrow u = x_0 \vdash_{G} x_1
\vdash_{G} \cdots \vdash_{G} x_n = v$ \vdash_{G} \cdots \vdash_{G} x_n = v$
Im Notebook kann man für die n-malige Anwendung einer binären Relation den Operator ```iterate``` verwenden: Im Notebook kann man für die n-malige Anwendung einer binären Relation den Operator ```iterate``` verwenden:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
[S] ↦ [a,b] ∈ iterate(abl,2) [S] ↦ [a,b] ∈ iterate(abl,2)
``` ```
%% Output %% Output
$\newcommand{\qdot}{\mathord{\mkern1mu\cdot\mkern1mu}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\mathit{TRUE}$ $\newcommand{\qdot}{\mathord{\mkern1mu\cdot\mkern1mu}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\newcommand{\expn}{\mathbin{\widehat{\mkern1em}}}\mathit{TRUE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{abl} = /*@symbolic*/ \{\mathit{u},\mathit{v}\mid\exists(\mathit{x},\mathit{z},\mathit{p},\mathit{q})\qdot(\mathit{p} \mapsto \mathit{q} \in \{([S]\mapsto []),([S]\mapsto [a,\mathit{S},b])\} \land \mathit{u} = \mathit{x} \expn \mathit{p} \expn \mathit{z} \land \mathit{v} = \mathit{x} \expn \mathit{q} \expn \mathit{z})\}$ * $\mathit{abl} = /*@symbolic*/ \{\mathit{u},\mathit{v}\mid\exists(\mathit{x},\mathit{z},\mathit{p},\mathit{q})\qdot(\mathit{p} \mapsto \mathit{q} \in \{([S]\mapsto []),([S]\mapsto [a,\mathit{S},b])\} \land \mathit{u} = \mathit{x} \expn \mathit{p} \expn \mathit{z} \land \mathit{v} = \mathit{x} \expn \mathit{q} \expn \mathit{z})\}$
TRUE TRUE
Solution: Solution:
abl = /*@symbolic*/ {u,v∣∃(x,z,p,q)·(p ↦ q ∈ {([S]↦[]),([S]↦[a,S,b])} ∧ u = x ^ p ^ z ∧ v = x ^ q ^ z)} abl = /*@symbolic*/ {u,v∣∃(x,z,p,q)·(p ↦ q ∈ {([S]↦[]),([S]↦[a,S,b])} ∧ u = x ^ p ^ z ∧ v = x ^ q ^ z)}
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Die Menge $\{w \mid S \vdash_{G}^{n} w\}$ kann direkt mit dem relationalen Bild berechnet werden. Zum Beispiel für n = 0,1,2,3,4: Die Menge $\{w \mid S \vdash_{G}^{n} w\}$ kann direkt mit dem relationalen Bild berechnet werden. Zum Beispiel für n = 0,1,2,3,4:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
iterate(abl,0)[ {[S]} ] iterate(abl,0)[ {[S]} ]
``` ```
%% Output %% Output
$\{[S]\}$ $\{[S]\}$
{[S]} {[S]}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
iterate(abl,1)[ {[S]} ] iterate(abl,1)[ {[S]} ]
``` ```
%% Output %% Output
$\{[],[a,\mathit{S},b]\}$ $\{[],[a,\mathit{S},b]\}$
{[],[a,S,b]} {[],[a,S,b]}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
iterate(abl,2)[ {[S]} ] iterate(abl,2)[ {[S]} ]
``` ```
%% Output %% Output
$\{[a,b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b]\}$ $\{[a,b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b]\}$
{[a,b],[a,a,S,b,b]} {[a,b],[a,a,S,b,b]}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
iterate(abl,3)[ {[S]} ] iterate(abl,3)[ {[S]} ]
``` ```
%% Output %% Output
$\{[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$ $\{[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$
{[a,a,b,b],[a,a,a,S,b,b,b]} {[a,a,b,b],[a,a,a,S,b,b,b]}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
iterate(abl,4)[ {[S]} ] iterate(abl,4)[ {[S]} ]
``` ```
%% Output %% Output
$\{[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$ $\{[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$
{[a,a,a,b,b,b],[a,a,a,a,S,b,b,b,b]} {[a,a,a,b,b,b],[a,a,a,a,S,b,b,b,b]}
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Die von der Grammatik $G$ erzeugte Sprache ist Die von der Grammatik $G$ erzeugte Sprache ist
definiert als definiert als
$L(G) = \{w \in \Sigma^* \mid S \vdash_{G}^{\ast} w\}.$ $L(G) = \{w \in \Sigma^* \mid S \vdash_{G}^{\ast} w\}.$
Bis zur Länge 4 gibt es folgende abgeleitenen Wörter über $\Sigma \cup N$ Bis zur Länge 4 gibt es folgende abgeleitenen Wörter über $\Sigma \cup N$
(auch Satzformen genannt): (auch Satzformen genannt):
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
UNION(i).(i:0..4|iterate(abl,i)[ {[S]} ]) UNION(i).(i:0..4|iterate(abl,i)[ {[S]} ])
``` ```
%% Output %% Output
$\{[],[a,b],[S],[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{S},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$ $\{[],[a,b],[S],[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{S},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$
{[],[a,b],[S],[a,a,b,b],[a,S,b],[a,a,a,b,b,b],[a,a,S,b,b],[a,a,a,S,b,b,b],[a,a,a,a,S,b,b,b,b]} {[],[a,b],[S],[a,a,b,b],[a,S,b],[a,a,a,b,b,b],[a,a,S,b,b],[a,a,a,S,b,b,b],[a,a,a,a,S,b,b,b,b]}
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Wenn wir mit $\Sigma^*$ schneiden bekommen wir Wörter der von der Grammatik generierten Sprache: Wenn wir mit $\Sigma^*$ schneiden bekommen wir Wörter der von der Grammatik generierten Sprache:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
UNION(i).(i:0..4|iterate(abl,i)[ {[S]} ]) /\ seq(Σ) UNION(i).(i:0..4|iterate(abl,i)[ {[S]} ]) ∩ seq(Σ)
``` ```
%% Output %% Output
$\{[],[a,b],[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$ $\{[],[a,b],[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$
{[],[a,b],[a,a,b,b],[a,a,a,b,b,b]} {[],[a,b],[a,a,b,b],[a,a,a,b,b,b]}
%% Cell type:markdown id: tags:
Wir können die Ableitungsrelationen für alle Satzformen bis zu einer gegebenen Tiefe auch grafisch darstellen.
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:let SF UNION(i).(i:0..4|iterate(abl,i)[ {[S]} ])
```
%% Output
$\{[],[a,b],[S],[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{S},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$
{[],[a,b],[S],[a,a,b,b],[a,S,b],[a,a,a,b,b,b],[a,a,S,b,b],[a,a,a,S,b,b,b],[a,a,a,a,S,b,b,b,b]}
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:pref DOT_DECOMPOSE_NODES=FALSE
```
%% Output
Preference changed: DOT_DECOMPOSE_NODES = FALSE
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:dot expr_as_graph ("abl",SF <| abl |> SF)
```
%% Output
<Dot visualization: expr_as_graph [SFablSF={[],[a,b],[S],[a,a,b,b],[a,S,b],[a,a,a,b,b,b],[a,a,S,b,b],[a,a,a,S,b,b,b],[a,a,a,a,S,b,b,b,b]} & abl=uv#x,z,p,q.((p,q):{([S],[]),([S],[a,S,b])} & u=x^p^z & v=x^q^z)("abl",SF<|abl|>SF)]>
%% Cell type:markdown id: tags:
Die Grammatik G2 können wir wie folgt umsetzen:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
::load ::load
MACHINE Grammatik MACHINE Grammatik2
SETS ΣN = {a,b,c, S} SETS ΣN = {a,b,c, S, B,C}
CONSTANTS Σ, N, P CONSTANTS Σ, N, P
ABSTRACT_CONSTANTS abl ABSTRACT_CONSTANTS abl
PROPERTIES PROPERTIES
Σ = {a,b,c} ∧ Σ = {a,b,c} ∧
Σ ∩ N = {} ∧ Σ ∩ N = {} ∧
Σ ∪ N = ΣN ∧ Σ ∪ N = ΣN ∧
S ∈ N ∧ S ∈ N ∧
P ⊆ seq1(ΣN) × seq(ΣN) ∧ P ⊆ seq1(ΣN) × seq(ΣN) ∧
// Die Beispiel Grammatik G1 von den Folien // Die Beispiel Grammatik G1 von den Folien
P = { [S] ↦ [], P = { [S] ↦ [a,B,C],
[S] ↦ [a,S,b] [S] ↦ [a,S,B,C],
[C,B] ↦ [B,C],
[a,B] ↦ [a,b],
[b,B] ↦ [b,b],
[b,C] ↦ [b,c],
[c,C] ↦ [c,c]
} }
∧ ∧
abl = {u,v | ∃(x,z,p,q).( p↦q ∈ P ∧ u = x^p^z ∧ v = x^q^z )} abl = {u,v | ∃(x,z,p,q).( p↦q ∈ P ∧ u = x^p^z ∧ v = x^q^z )}
DEFINITIONS SET_PREF_PP_SEQUENCES == TRUE DEFINITIONS SET_PREF_PP_SEQUENCES == TRUE
END END
``` ```
%% Output %% Output
Loaded machine: Grammatik Loaded machine: Grammatik2
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
:constants :constants
``` ```
%% Output %% Output
Machine constants set up using operation 0: $setup_constants() Machine constants set up using operation 0: $setup_constants()
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:code id: tags:
Wir können die Ableitungsrelationen für alle Satzformen bis zu einer gegebenen Tiefe auch grafisch darstellen. ``` prob
:let SF UNION(i).(i:0..4|iterate(abl,i)[ {[S]} ])
```
%% Output
$\{[S],[a,\mathit{b},c],[a,\mathit{b},C],[a,\mathit{S},\mathit{B},C],[a,\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{B},\mathit{C},C],[a,\mathit{a},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{B},\mathit{B},\mathit{C},C],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{B},\mathit{B},\mathit{C},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{B},\mathit{C},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{B},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{B},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{B},\mathit{C},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C]\}$
{[S],[a,b,c],[a,b,C],[a,S,B,C],[a,B,C],[a,a,b,c,B,C],[a,a,b,C,B,C],[a,a,b,B,C,C],[a,a,B,C,B,C],[a,a,B,B,C,C],[a,a,S,B,C,B,C],[a,a,S,B,B,C,C],[a,a,a,S,B,C,B,B,C,C],[a,a,a,S,B,B,C,C,B,C],[a,a,a,S,B,C,B,C,B,C],[a,a,a,B,B,C,C,B,C],[a,a,a,b,C,B,C,B,C],[a,a,a,B,C,B,B,C,C],[a,a,a,B,C,B,C,B,C],[a,a,a,a,B,C,B,C,B,C,B,C],[a,a,a,a,S,B,C,B,C,B,C,B,C]}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
:let SF UNION(i).(i:0..4|iterate(abl,i)[ {[S]} ]) SF ∩ seq(Σ)
``` ```
%% Output %% Output
$\{[],[a,b],[S],[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{S},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$ $\{[a,\mathit{b},c]\}$
{[],[a,b],[S],[a,a,b,b],[a,S,b],[a,a,a,b,b,b],[a,a,S,b,b],[a,a,a,S,b,b,b],[a,a,a,a,S,b,b,b,b]} {[a,b,c]}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
:pref DOT_DECOMPOSE_NODES=FALSE :pref DOT_DECOMPOSE_NODES=FALSE
``` ```
%% Output %% Output
Preference changed: DOT_DECOMPOSE_NODES = FALSE Preference changed: DOT_DECOMPOSE_NODES = FALSE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
:dot expr_as_graph ("abl",SF <| abl |> SF) :dot expr_as_graph ("abl",SF <| abl |> SF)
``` ```
%% Output %% Output
<Dot visualization: expr_as_graph [SFablSF={[],[a,b],[S],[a,a,b,b],[a,S,b],[a,a,a,b,b,b],[a,a,S,b,b],[a,a,a,S,b,b,b],[a,a,a,a,S,b,b,b,b]} & abl=uv#x,z,p,q.((p,q):{([S],[]),([S],[a,S,b])} & u=x^p^z & v=x^q^z)("abl",SF<|abl|>SF)]> <Dot visualization: expr_as_graph [SFSF={[S],[a,b,c],[a,b,C],[a,S,B,C],[a,B,C],[a,a,b,c,B,C],[a,a,b,C,B,C],[a,a,b,B,C,C],[a,a,B,C,B,C],[a,a,B,B,C,C],[a,a,S,B,C,B,C],[a,a,S,B,B,C,C],[a,a,a,S,B,C,B,B,C,C],[a,a,a,S,B,B,C,C,B,C],[a,a,a,S,B,C,B,C,B,C],[a,a,a,B,B,C,C,B,C],[a,a,a,b,C,B,C,B,C],[a,a,a,B,C,B,B,C,C],[a,a,a,B,C,B,C,B,C],[a,a,a,a,B,C,B,C,B,C,B,C],[a,a,a,a,S,B,C,B,C,B,C,B,C]}("abl",SF<|abl|>SF)]>
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
```
%% Output
$\{[a,\mathit{b},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{b},\mathit{c},c]\}$
{[a,b,c],[a,a,b,b,c,c]}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
``` ```
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