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Commit 41417c5a authored by Michael Leuschel's avatar Michael Leuschel
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info4/kapitel-1/Grammatiken.ipynb
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%% Cell type:markdown id: tags:
## Grammatiken und Chomsky-Hierarchie
Dieses Notebook begleitet Teil 2 der Vorlesung 3 und führt am Ende die Chomsky-Hierarchie ein
%% Cell type:markdown id: tags:
Eine __Grammatik__ ist ein Quadrupel
$G = (\Sigma , N, S, P)$, wobei
* $\Sigma$ ein Alphabet (von so genannten __Terminalsymbolen__) ist,
* $N$ eine endliche Menge (von so genannten __Nichtterminalen__) mit
$\Sigma \cap N = \emptyset$,
* $S \in N$ das __Startsymbol__ und
* $P \subseteq (N \cup \Sigma)^+ \times (N \cup \Sigma)^{\ast}$ die
endliche Menge der __Produktionen__ (Regeln).
Diese mathematische Definition setzen wir im Notebook folgendermaßen um.
Wir verwenden eine B Maschine um eine neue Basismenge an Symbolen (ΣN) einführen zu können.
Hier steht ```seq1(T)``` für die nicht leeren Folgen über T, also $T^+$ in der Notation des Skripts.
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
::load
MACHINE Grammatik
SETS ΣN = {a,b,c, S}
CONSTANTS Σ, N, P
PROPERTIES
Σ = {a,b,c} ∧
Σ ∩ N = {} ∧
Σ ∪ N = ΣN ∧
S ∈ N ∧
P ⊆ seq1(ΣN) × seq(ΣN) ∧
// Die Beispiel Grammatik G1 von den Folien
P = { [S] ↦ [],
[S] ↦ [a,S,b]
}
DEFINITIONS SET_PREF_PP_SEQUENCES == TRUE
END
```
%% Output
Loaded machine: Grammatik
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:constants
```
%% Output
Machine constants set up using operation 0: $setup_constants()
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
[S] ↦ RHS ∈ P
```
%% Output
$\mathit{TRUE}$
**Solution:**
* $\mathit{RHS} = []$
TRUE
Solution:
RHS = []
%% Cell type:markdown id: tags:
Mit dem relationalen Bild können wir alle Regeln mit der Folge S auf der rechten Seite finden:
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
P[{[S]}]
P[{ [S] }]
```
%% Output
$\{[],[a,\mathit{S},b]\}$
{[],[a,S,b]}
%% Cell type:markdown id: tags:
Definiere die __unmittelbare Ableitungsrelation__ bzgl. $G$ so
* $u \vdash_{G} v \Longleftrightarrow u = xpz, v = xqz$,
wobei $x,z \in (N \cup \Sigma)^{\ast}$ und $p \rightarrow q$ eine Regel in $P$
ist.
Im Notebook können wir dies so umsetzen, können aber leider nicht das Symbol $\vdash_G$ verwenden.
Aus $u \vdash_{G} v$ wird $u \mapsto v \in abl$.
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
::load
MACHINE Grammatik
SETS ΣN = {a,b,c, S}
CONSTANTS Σ, N, P
ABSTRACT_CONSTANTS abl
PROPERTIES
Σ = {a,b,c} ∧
Σ ∩ N = {} ∧
Σ ∪ N = ΣN ∧
S ∈ N ∧
P ⊆ seq1(ΣN) × seq(ΣN) ∧
// Die Beispiel Grammatik G1 von den Folien
P = { [S] ↦ [],
[S] ↦ [a,S,b]
}
∧
abl = {u,v | ∃(x,z,p,q).( p↦q ∈ P ∧ u = x^p^z ∧ v = x^q^z )}
DEFINITIONS SET_PREF_PP_SEQUENCES == TRUE
END
```
%% Output
Loaded machine: Grammatik
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:constants
```
%% Output
Machine constants set up using operation 0: $setup_constants()
%% Cell type:markdown id: tags:
Da diese Relation unendlich ist wird diese im Notebook symbolisch gehalten. Wir können aber prüfen ob Paare an Folgen in der Relation sind:
Da diese Relation ```abl``` unendlich ist wird diese im Notebook symbolisch gehalten. Wir können aber prüfen ob Paare an Folgen in der Relation sind:
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
[S] ↦ [a,S,b] ∈ abl
abl
```
%% Output
$\newcommand{\qdot}{\mathord{\mkern1mu\cdot\mkern1mu}}/*@symbolic*/ \{\mathit{u},\mathit{v}\mid\exists(\mathit{x},\mathit{z},\mathit{p},\mathit{q})\qdot(\mathit{p} \mapsto \mathit{q} \in \{([S]\mapsto []),([S]\mapsto [a,\mathit{S},b])\} \land \mathit{u} = \mathit{x} ⌒ \mathit{p} ⌒ \mathit{z} \land \mathit{v} = \mathit{x} ⌒ \mathit{q} ⌒ \mathit{z})\}$
/*@symbolic*/ {u,v∣∃(x,z,p,q)·(p ↦ q ∈ {([S]↦[]),([S]↦[a,S,b])} ∧ u = x ⌒ p ⌒ z ∧ v = x ⌒ q ⌒ z)}
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
[a,S,b,S] ↦ [a,S,b,a,S,b] ∈ abl
```
%% Output
$\mathit{TRUE}$
TRUE
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
[S] ↦ [a,b] ∈ abl
```
%% Output
$\mathit{FALSE}$
FALSE
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
[S] ↦ x : abl
[S] ↦ x ∈ abl
```
%% Output
$\mathit{TRUE}$
**Solution:**
* $\mathit{x} = []$
TRUE
Solution:
x = []
%% Cell type:markdown id: tags:
Mit dem relationalen Abbild können wir die Menge aller Umschreibungen berrechnen:
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
abl[ {[S]} ]
abl[ { [S] } ]
```
%% Output
$\{[],[a,\mathit{S},b]\}$
{[],[a,S,b]}
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
abl[ {[a,S,b]} ]
abl[ {[a,S,b,S]} ]
```
%% Output
$\{[a,b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b]\}$
{[a,b],[a,a,S,b,b]}
$\{[a,\mathit{b},S],[a,\mathit{S},b],[a,\mathit{S},\mathit{b},\mathit{a},\mathit{S},b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},S]\}$
{[a,b,S],[a,S,b],[a,S,b,a,S,b],[a,a,S,b,b,S]}
%% Cell type:markdown id: tags:
Durch mehrfache Anwendung bekommen wir die Ergebnisse von immer längeren Ableitungen:
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
abl[ abl[ {[S]} ] ]
```
%% Output
$\{[a,b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b]\}$
{[a,b],[a,a,S,b,b]}
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
abl[ abl[ abl[ {[S]} ] ] ]
```
%% Output
$\{[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$
{[a,a,b,b],[a,a,a,S,b,b,b]}
%% Cell type:markdown id: tags:
Durch $n$-malige Anwendung von $\vdash_{G}$ erhalten wir
$\vdash_{G}^{n}$. Das heiß t:
* $u \vdash_{G}^{n} v \Longleftrightarrow u = x_0 \vdash_{G} x_1
\vdash_{G} \cdots \vdash_{G} x_n = v$
Im Notebook kann man für die n-malige Anwendung einer binären Relation den Operator ```iterate``` verwenden:
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
[S] ↦ [a,b] ∈ iterate(abl,2)
```
%% Output
$\mathit{TRUE}$
TRUE
%% Cell type:markdown id: tags:
Die Menge $\{w \mid S \vdash_{G}^{n} w\}$ kann direkt mit dem relationalen Bild berechnet werden. Zum Beispiel für n = 0,1,2,3,4:
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
iterate(abl,0)[ {[S]} ]
```
%% Output
$\{[S]\}$
{[S]}
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
iterate(abl,1)[ {[S]} ]
```
%% Output
$\{[],[a,\mathit{S},b]\}$
{[],[a,S,b]}
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
iterate(abl,2)[ {[S]} ]
```
%% Output
$\{[a,b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b]\}$
{[a,b],[a,a,S,b,b]}
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
iterate(abl,3)[ {[S]} ]
```
%% Output
$\{[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$
{[a,a,b,b],[a,a,a,S,b,b,b]}
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
iterate(abl,4)[ {[S]} ]
```
%% Output
$\{[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$
{[a,a,a,b,b,b],[a,a,a,a,S,b,b,b,b]}
%% Cell type:markdown id: tags:
Die von der Grammatik $G$ erzeugte Sprache ist
definiert als
$L(G) = \{w \in \Sigma^* \mid S \vdash_{G}^{\ast} w\}.$
Bis zur Länge 4 gibt es folgende abgeleitenen Wörter über $\Sigma \cup N$
(auch Satzformen genannt):
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
UNION(i).(i:0..4|iterate(abl,i)[ {[S]} ])
```
%% Output
$\{[],[a,b],[S],[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{S},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$
{[],[a,b],[S],[a,a,b,b],[a,S,b],[a,a,a,b,b,b],[a,a,S,b,b],[a,a,a,S,b,b,b],[a,a,a,a,S,b,b,b,b]}
%% Cell type:markdown id: tags:
Wenn wir mit $\Sigma^*$ schneiden bekommen wir Wörter der von der Grammatik generierten Sprache:
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
UNION(i).(i:0..4|iterate(abl,i)[ {[S]} ]) ∩ seq(Σ)
```
%% Output
$\{[],[a,b],[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$
{[],[a,b],[a,a,b,b],[a,a,a,b,b,b]}
%% Cell type:markdown id: tags:
Wir können die Ableitungsrelationen für alle Satzformen bis zu einer gegebenen Tiefe auch grafisch darstellen.
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:let SF UNION(i).(i:0..4|iterate(abl,i)[ {[S]} ])
```
%% Output
$\{[],[a,b],[S],[a,\mathit{a},\mathit{b},b],[a,\mathit{S},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},b],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{b},\mathit{b},\mathit{b},b]\}$
{[],[a,b],[S],[a,a,b,b],[a,S,b],[a,a,a,b,b,b],[a,a,S,b,b],[a,a,a,S,b,b,b],[a,a,a,a,S,b,b,b,b]}
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:pref DOT_DECOMPOSE_NODES=FALSE
```
%% Output
Preference changed: DOT_DECOMPOSE_NODES = FALSE
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:dot expr_as_graph ("abl",SF <| abl |> SF)
```
%% Output
<Dot visualization: expr_as_graph [SFSF={[],[a,b],[S],[a,a,b,b],[a,S,b],[a,a,a,b,b,b],[a,a,S,b,b],[a,a,a,S,b,b,b],[a,a,a,a,S,b,b,b,b]}("abl",SF<|abl|>SF)]>
%% Cell type:markdown id: tags:
Die Grammatik G2 können wir wie folgt umsetzen:
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
::load
MACHINE Grammatik2
SETS ΣN = {a,b,c, S, B,C}
CONSTANTS Σ, N, P
ABSTRACT_CONSTANTS abl
PROPERTIES
Σ = {a,b,c} ∧
Σ ∩ N = {} ∧
Σ ∪ N = ΣN ∧
S ∈ N ∧
P ⊆ seq1(ΣN) × seq(ΣN) ∧
// Die Beispiel Grammatik G1 von den Folien
P = { [S] ↦ [a,B,C],
[S] ↦ [a,S,B,C],
[C,B] ↦ [B,C],
[a,B] ↦ [a,b],
[b,B] ↦ [b,b],
[b,C] ↦ [b,c],
[c,C] ↦ [c,c]
}
∧
abl = {u,v | ∃(x,z,p,q).( p↦q ∈ P ∧ u = x^p^z ∧ v = x^q^z )}
DEFINITIONS SET_PREF_PP_SEQUENCES == TRUE
END
```
%% Output
Loaded machine: Grammatik2
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:constants
```
%% Output
Machine constants set up using operation 0: $setup_constants()
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:let SF UNION(i).(i:0..4|iterate(abl,i)[ {[S]} ])
```
%% Output
$\{[S],[a,\mathit{b},c],[a,\mathit{b},C],[a,\mathit{S},\mathit{B},C],[a,\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{B},\mathit{C},C],[a,\mathit{a},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{B},\mathit{B},\mathit{C},C],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{S},\mathit{B},\mathit{B},\mathit{C},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{B},\mathit{C},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{B},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{B},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{B},\mathit{C},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C],[a,\mathit{a},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{S},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{B},C]\}$
{[S],[a,b,c],[a,b,C],[a,S,B,C],[a,B,C],[a,a,b,c,B,C],[a,a,b,C,B,C],[a,a,b,B,C,C],[a,a,B,C,B,C],[a,a,B,B,C,C],[a,a,S,B,C,B,C],[a,a,S,B,B,C,C],[a,a,a,S,B,C,B,B,C,C],[a,a,a,S,B,B,C,C,B,C],[a,a,a,S,B,C,B,C,B,C],[a,a,a,B,B,C,C,B,C],[a,a,a,b,C,B,C,B,C],[a,a,a,B,C,B,B,C,C],[a,a,a,B,C,B,C,B,C],[a,a,a,a,B,C,B,C,B,C,B,C],[a,a,a,a,S,B,C,B,C,B,C,B,C]}
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
SF ∩ seq(Σ)
```
%% Output
$\{[a,\mathit{b},c]\}$
{[a,b,c]}
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:pref DOT_DECOMPOSE_NODES=FALSE
```
%% Output
Preference changed: DOT_DECOMPOSE_NODES = FALSE
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:dot expr_as_graph ("abl",SF <| abl |> SF)
```
%% Output
<Dot visualization: expr_as_graph [SFSF={[S],[a,b,c],[a,b,C],[a,S,B,C],[a,B,C],[a,a,b,c,B,C],[a,a,b,C,B,C],[a,a,b,B,C,C],[a,a,B,C,B,C],[a,a,B,B,C,C],[a,a,S,B,C,B,C],[a,a,S,B,B,C,C],[a,a,a,S,B,C,B,B,C,C],[a,a,a,S,B,B,C,C,B,C],[a,a,a,S,B,C,B,C,B,C],[a,a,a,B,B,C,C,B,C],[a,a,a,b,C,B,C,B,C],[a,a,a,B,C,B,B,C,C],[a,a,a,B,C,B,C,B,C],[a,a,a,a,B,C,B,C,B,C,B,C],[a,a,a,a,S,B,C,B,C,B,C,B,C]}("abl",SF<|abl|>SF)]>
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:unlet SF
```
%% Cell type:markdown id: tags:
## Chomsky-Hierarchie
Die Chomsky-Hierarchie klassifiziert Grammatiken nach folgenden Kriterien:
Sei $G = (\Sigma , N, S, P)$ eine Grammatik.
* $G$ ist eine __Typ-0-Grammatik__, falls $P$ keinerlei
Einschränkungen unterliegt.
* $G$ ist eine __Typ-1-Grammatik__ (bzw. __kontextsensitiv__ bzw. _nichtverkürzend_ oder __monoton__), falls für alle Regeln $p \rightarrow q$ in
$P$ gilt: $|p| \leq |q|$.
* Eine Typ-1-Grammatik $G$ ist __vom Typ 2__ (bzw. ___kontextfrei__), falls für alle Regeln $p \rightarrow q$ in $P$ gilt: $p \in N$.
* Eine Typ-1-Grammatik $G$ ist __vom Typ 2__ (bzw. __kontextfrei__), falls für alle Regeln $p \rightarrow q$ in $P$ gilt: $p \in N$.
* Eine Typ-2-Grammatik $G$ ist __vom Typ 3__ (bzw. __regulär__ bzw. __rechtslinear__), falls f"ur
* Eine Typ-2-Grammatik $G$ ist __vom Typ 3__ (bzw. __regulär__ bzw. __rechtslinear__), falls für
alle Regeln $p \rightarrow q$ in $P$ gilt: $p \in N$ und $q \in \Sigma \cup \Sigma N$.
Eine Sprache $A \subseteq \Sigma^*$ ist genau dann vom Typ $i \in
\{0,1,2,3\}$, wenn es eine Typ-$i$-Grammatik $G$ gibt mit $L(G) = A$.
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
P
```
%% Output
$\{([a,B]\mapsto [a,b]),([b,B]\mapsto [b,b]),([b,C]\mapsto [b,c]),([c,C]\mapsto [c,c]),([S]\mapsto [a,\mathit{S},\mathit{B},C]),([S]\mapsto [a,\mathit{B},C]),([C,B]\mapsto [B,C])\}$
{([a,B]↦[a,b]),([b,B]↦[b,b]),([b,C]↦[b,c]),([c,C]↦[c,c]),([S]↦[a,S,B,C]),([S]↦[a,B,C]),([C,B]↦[B,C])}
%% Cell type:markdown id: tags:
Jede Grammatik ist vom Typ-0.
Die Grammatik $G_2$ ist nicht-verkürzend, also vom Typ 1:
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
∀(p,q).( p↦q ∈ P ⇒ size(p) ≤ size(q))
```
%% Output
$\mathit{TRUE}$
TRUE
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
P
```
%% Output
$\{([a,B]\mapsto [a,b]),([b,B]\mapsto [b,b]),([b,C]\mapsto [b,c]),([c,C]\mapsto [c,c]),([S]\mapsto [a,\mathit{S},\mathit{B},C]),([S]\mapsto [a,\mathit{B},C]),([C,B]\mapsto [B,C])\}$
{([a,B]↦[a,b]),([b,B]↦[b,b]),([b,C]↦[b,c]),([c,C]↦[c,c]),([S]↦[a,S,B,C]),([S]↦[a,B,C]),([C,B]↦[B,C])}
%% Cell type:markdown id: tags:
Die Grammatik $G_2$ ist aber nicht vom Typ 2:
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
∀(p,q).( p↦q ∈ P ⇒ size(p)=1 & p∈seq(N))
```
%% Output
$\mathit{FALSE}$
FALSE
%% Cell type:markdown id: tags:
Anmerkung: im Skript wird nicht zwischen einem Nicht-Terminal Symbol und einer Folge der Länge 1 bestehend aus einem Nicht-Terminal unterschieden.
Deshalb steht im Skript $p\in N$. Im Notebook sind $p$ und die Folge bestehend aus einem $p$ (geschrieben als [p]) von einem unterschiedlichen Typ. Die wortwörtliche Übersetzung von $p\in N$ führt zu einem Typfehler.
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
∀(p,q).( p↦q ∈ P ⇒ p ∈ N)
```
%% Output
:eval: Computation not completed: Type mismatch: Expected POW(seq(ΣN)), but was POW(ΣN) in 'N'
%% Cell type:markdown id: tags:
Die Grammatik $G_2$ ist also vom Typ 1 aber nicht vom Typ 2 oder 3.
Wie sieht es mit der Grammatik $G_1$ aus?
Diese erfüllt die Typ-2 Bedingung:
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
:let P1 { [S] ↦ [], [S] ↦ [a,S,b] }
```
%% Output
$\{([S]\mapsto []),([S]\mapsto [a,\mathit{S},b])\}$
{([S]↦[]),([S]↦[a,S,b])}
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
∀(p,q).( p↦q ∈ P1 ⇒ size(p)=1 & p∈seq(N))
```
%% Output
$\mathit{TRUE}$
**Solution:**
* $\mathit{P1} = \{([S]\mapsto []),([S]\mapsto [a,\mathit{S},b])\}$
TRUE
Solution:
P1 = {([S]↦[]),([S]↦[a,S,b])}
%% Cell type:markdown id: tags:
Die Grammatik $G_1$ erfüllt aber nicht die Typ 1 Bedingung, da die erste Regel verkürzend ist:
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
∀(p,q).( p↦q ∈ P1 ⇒ size(p) ≤ size(q))
```
%% Output
$\mathit{FALSE}$
FALSE
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
p↦q ∈ P1 ∧ size(p) > size(q) /* Gegenbeispiel */
```
%% Output
$\mathit{TRUE}$
**Solution:**
* $\mathit{p} = [S]$
* $\mathit{q} = []$
* $\mathit{P1} = \{([S]\mapsto []),([S]\mapsto [a,\mathit{S},b])\}$
TRUE
Solution:
p = [S]
q = []
P1 = {([S]↦[]),([S]↦[a,S,b])}
%% Cell type:markdown id: tags:
Die Grammatik $G_1$ ist also vom Typ-0.
Wir werden aber in der nächsten Woche eine Sonderregelung für das leere Wort erlauben, damit auch Grammatiken vom Typ 1,2 oder 3 das leere Wort in ihrer Sprache generieren können.
%% Cell type:markdown id: tags:
### Chomsky-Hierarchie
Die __Chomsky-Hierarchie__ besteht aus den vier Sprachklassen:
* $\mathfrak{L}_i = \{L(G) \Longleftrightarrow \mbox{$G$ ist Typ-$i$-Grammatik} \}$,
wobei $i \in \{0,1,2,3\}$.
Übliche Bezeichnungen:
* $\mathfrak{L}_0$ ist die Klasse aller Sprachen, die durch eine
Grammatik erzeugt werden können;
* $\mathfrak{L}_1 = CS$ ist die __Klasse der kontextsensitiven Sprachen__;
* $\mathfrak{L}_2 = CF$ ist die __Klasse der kontextfreien Sprachen__;
* $\mathfrak{L}_3 = REG$ ist die __Klasse der regulären Sprachen__.
* $REG \subseteq CF \subseteq CS \subseteq \mathfrak{L}_0.$
%% Cell type:code id: tags:
``` prob
```
......
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