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3c4c7517 · Michael Leuschel · a231c472 · 3c4c7517
Commit 3c4c7517 authored 5 years ago by Michael Leuschel
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   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
-    "Die Länge eines Wortes $w$ ist die Anzahl der Symbole in $w$. Im Skript schreiben wir $\\|w\\|$, im Notebook benutzen wir ```size(w)```:"
+    "Die Länge eines Wortes $w$ ist die Anzahl der Symbole in $w$. Im Skript schreiben wir $|w|$, im Notebook benutzen wir ```size(w)```:"
   ]
  },
  {

 %% Cell type:markdown id: tags:

 ## Formale Sprachen

 Dieses Notebook begleitet Vorlesung 3 und erläutert die grundlegenden Definitionen der formalen Sprachen.

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 ::load
 MACHINE Alphabet
 SETS Σ = {a,b,c}
 END
 ```

 %% Output

    Loaded machine: Alphabet

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Ein Wort ist eine endliche Folge von Elementen aus dem Alphabet.
 Im Skript schreiben wir $w \in \Sigma^{*}$; hier im Notebook schreiben wir
 $w \in seq(\Sigma)$.

 Im Skript schreiben wir Wörter in dem wir die Symbole aus $\Sigma$ hintereinander setzten: $abc$. Im Notebook schreiben wir $[a,b,c]$ für die Folge mit den drei Symbolen $a$, $b$ und $c$.

 Also aus $abc \in \Sigma^*$ wird dies:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 [a,b,c] ∈ seq(Σ)
 ```

 %% Output

    $\mathit{TRUE}$
    TRUE

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 [a,a,b,c] ∈ seq(Σ)
 ```

 %% Output

    $\mathit{TRUE}$
    TRUE

 %% Cell type:markdown id: tags:

-Die Länge eines Wortes $w$ ist die Anzahl der Symbole in $w$. Im Skript schreiben wir $\|w\|$, im Notebook benutzen wir ```size(w)```:
+Die Länge eines Wortes $w$ ist die Anzahl der Symbole in $w$. Im Skript schreiben wir $|w|$, im Notebook benutzen wir ```size(w)```:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 size([a,b,c])
 ```

 %% Output

    $3$
    3

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 size([a,a,b,c])
 ```

 %% Output

    $4$
    4

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Das leere Wort ist das eindeutig bestimmte Wort der Laenge 0:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 ε ∈ seq(Σ) ∧ size(ε) = 0
 ```

 %% Output

    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\mathit{TRUE}$
    
    **Solution:**
    * $ε = \emptyset$
    TRUE
    
    Solution:
    	ε = ∅

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Leider ist in der B Sprache das Symbol λ schon vergeben (zur Definition von Funktionen). Deshalb müssen wir in einer weiteren Abweichung vom Skript Epsilon verwenden.

 Eine formale Sprache ist eine jede Teilmenge von $\Sigma^*$.

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 Sprachen = {L | L ⊆ seq(Σ)}
 ```

 %% Output

    $\mathit{TRUE}$
    
    **Solution:**
    * $\mathit{Sprachen} = \{\mathit{L}\mid \mathit{L} \subseteq \mathit{seq}(Σ)\}$
    TRUE
    
    Solution:
    	Sprachen = {L∣L ⊆ seq(Σ)}

 %% Cell type:markdown id: tags:

 In folgender B Maschine werden wir ein paar Sprachen und Wörter definieren:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 ::load
 MACHINE Alphabet
 SETS Σ = {a,b,c}
 CONSTANTS ε, Sprachen, w₁, w₂, L₁, L₂
 PROPERTIES
  ε ∈ seq(Σ) ∧ size(ε) = 0 ∧
  Sprachen = {L | L ⊆ seq(Σ)}∧
  w₁ = [a,a,b,c] ∧
  w₂ = [c,c] ∧
  L₁ = {w₁,w₂} ∧
  L₂ = {w₂, [a,a,a] }
 END
 ```

 %% Output

    Loaded machine: Alphabet

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :constants
 ```

 %% Output

    Machine constants set up using operation 0: $setup_constants()

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 w₁
 ```

 %% Output

    $\{(1\mapsto \mathit{a}),(2\mapsto \mathit{a}),(3\mapsto \mathit{b}),(4\mapsto \mathit{c})\}$
    {(1↦a),(2↦a),(3↦b),(4↦c)}

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Man sieht hier, dass die Folge aabc, mathematisch gesehen eine totale Funktion von 1..4 nach $\Sigma$ ist. Wir können aber den "Pretty-Printer" beeinflussen und Folgen anders ausgeben:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :pref PP_SEQUENCES=TRUE
 ```

 %% Output

    Preference changed: PP_SEQUENCES = TRUE

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 w₁
 ```

 %% Output

    $[a,\mathit{a},\mathit{b},c]$
    [a,a,b,c]

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Hier wird die Schreibweise von B für Folgen verwendet. Diese kann man auch so im Notebook eingeben.

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 w₂
 ```

 %% Output

    $[c,c]$
    [c,c]

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 L₁
 ```

 %% Output

    $\{[c,c],[a,\mathit{a},\mathit{b},c]\}$
    {[c,c],[a,a,b,c]}

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Die Leere Sprache ist die Sprache die keine Wörter enthält, sie ist unterschiedlich von der Sprache die nur das leere Wort beinhaltet:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 LeereSprache = ∅ ∧  LeereSprache ≠ {ε}
 ```

 %% Output

    $\mathit{TRUE}$
    
    **Solution:**
    * $\mathit{LeereSprache} = []$
    TRUE
    
    Solution:
    	LeereSprache = []

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Die Kardinalität einer Sprache L ist die Anzahl der Wörter von L.

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 card(L₁)
 ```

 %% Output

    $2$
    2

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 card( {ε} )
 ```

 %% Output

    $1$
    1

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 card( ∅ )
 ```

 %% Output

    $0$
    0

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Die Mengeoperatoren (Vereinigung, Schnitt, Differenz) kann man auch auf Sprachen anwenden:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 L₁
 ```

 %% Output

    $\{[c,c],[a,\mathit{a},\mathit{b},c]\}$
    {[c,c],[a,a,b,c]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 L₂
 ```

 %% Output

    $\{[c,c],[a,\mathit{a},a]\}$
    {[c,c],[a,a,a]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 L₁ ∪ L₂
 ```

 %% Output

    $\{[c,c],[a,\mathit{a},a],[a,\mathit{a},\mathit{b},c]\}$
    {[c,c],[a,a,a],[a,a,b,c]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 {x| x∈seq(Σ) ∧ (x∈L₁ ∨ x∈L₂)}
 ```

 %% Output

    $\{[c,c],[a,\mathit{a},a],[a,\mathit{a},\mathit{b},c]\}$
    {[c,c],[a,a,a],[a,a,b,c]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 L₁ ∩ L₂
 ```

 %% Output

    $\{[c,c]\}$
    {[c,c]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 {x| x∈seq(Σ) ∧ (x∈L₁ ∧ x∈L₂)}
 ```

 %% Output

    $\{[c,c]\}$
    {[c,c]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 L₁ \ L₂
 ```

 %% Output

    $\{[a,\mathit{a},\mathit{b},c]\}$
    {[a,a,b,c]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 L₂ \ L₁
 ```

 %% Output

    $\{[a,\mathit{a},a]\}$
    {[a,a,a]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 Komplement = seq(Σ) \ L₁ ∧
 [a,a,b,c] ∉ Komplement ∧
 [a,a,c,c] ∈ Komplement
 ```

 %% Output

    $\mathit{TRUE}$
    
    **Solution:**
    * $\mathit{Komplement} = (\mathit{seq}(Σ) - \{[c,c],[a,\mathit{a},\mathit{b},c]\})$
    TRUE
    
    Solution:
    	Komplement = (seq(Σ) − {[c,c],[a,a,b,c]})

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Konkatenation von Wörtern wird in B mit ^ geschrieben:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 w₁
 ```

 %% Output

    $[a,\mathit{a},\mathit{b},c]$
    [a,a,b,c]

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 w₁^w₁
 ```

 %% Output

    $[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c]$
    [a,a,b,c,a,a,b,c]

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 w₁^ε
 ```

 %% Output

    $[a,\mathit{a},\mathit{b},c]$
    [a,a,b,c]

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 ε^w₁
 ```

 %% Output

    $[a,\mathit{a},\mathit{b},c]$
    [a,a,b,c]

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Die Verkettung von Sprachen:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 L₁
 ```

 %% Output

    $\{[c,c],[a,\mathit{a},\mathit{b},c]\}$
    {[c,c],[a,a,b,c]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 L₂
 ```

 %% Output

    $\{[c,c],[a,\mathit{a},a]\}$
    {[c,c],[a,a,a]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 {w | ∃(a,b).(a∈L₁ ∧ b∈L₂ ∧ w = a^b)}
 ```

 %% Output

    $\{[c,\mathit{c},\mathit{c},c],[c,\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},a],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},a]\}$
    {[c,c,c,c],[c,c,a,a,a],[a,a,b,c,c,c],[a,a,b,c,a,a,a]}

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Man kann eine Sprache auch mit sich selber verketten.
 Dies ist die Sprache $L_1^2$:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :let L1_2 {w | ∃(a,b).(a∈L₁ ∧ b∈L₁ ∧ w = a^b)}
 ```

 %% Output

    $\{[c,\mathit{c},\mathit{c},c],[c,\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c]\}$
    {[c,c,c,c],[c,c,a,a,b,c],[a,a,b,c,c,c],[a,a,b,c,a,a,b,c]}

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Man kann eine Sprache auch mehrfach mit sich selber verketten.
 Dies sind die Sprachen $L_1^3$ und $L_1^4$:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :let L1_3 {w | ∃(a,b).(a∈L₁ ∧ b∈L1_2 ∧ w = a^b)}
 ```

 %% Output

    $\{[c,\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},c],[c,\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},c],[c,\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},c],[c,\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c]\}$
    {[c,c,c,c,c,c],[c,c,a,a,b,c,c,c],[a,a,b,c,c,c,c,c],[c,c,c,c,a,a,b,c],[a,a,b,c,a,a,b,c,c,c],[c,c,a,a,b,c,a,a,b,c],[a,a,b,c,c,c,a,a,b,c],[a,a,b,c,a,a,b,c,a,a,b,c]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :let L1_4 {w | ∃(a,b).(a∈L₁ ∧ b∈L1_3 ∧ w = a^b)}
 ```

 %% Output

    $\{[c,\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},c],[c,\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},c],[c,\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},c],[c,\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},c],[c,\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c],[c,\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c],[c,\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},c],[c,\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{c},c],[a,\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},c]\}$
    {[c,c,c,c,c,c,c,c],[c,c,c,c,a,a,b,c,c,c],[c,c,a,a,b,c,c,c,c,c],[a,a,b,c,c,c,c,c,c,c],[c,c,c,c,c,c,a,a,b,c],[a,a,b,c,a,a,b,c,c,c,c,c],[c,c,c,c,a,a,b,c,a,a,b,c],[c,c,a,a,b,c,c,c,a,a,b,c],[c,c,a,a,b,c,a,a,b,c,c,c],[a,a,b,c,c,c,c,c,a,a,b,c],[a,a,b,c,c,c,a,a,b,c,c,c],[c,c,a,a,b,c,a,a,b,c,a,a,b,c],[a,a,b,c,c,c,a,a,b,c,a,a,b,c],[a,a,b,c,a,a,b,c,c,c,a,a,b,c],[a,a,b,c,a,a,b,c,a,a,b,c,c,c],[a,a,b,c,a,a,b,c,a,a,b,c,a,a,b,c]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :unlet L1_2
 ```

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :unlet L1_3
 ```

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :unlet L1_4
 ```

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Die Spiegelung eines Wortes kann im Notebook mit dem ```rev``` Operator verwirklicht werden:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 rev(w₁)
 ```

 %% Output

    $[c,\mathit{b},\mathit{a},a]$
    [c,b,a,a]

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Eine Sprache wird gespiegelt indem jedes Wort gespiegelt wird:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 {ws|∃w.(w∈L₁ ∧ ws=rev(w))}
 ```

 %% Output

    $\{[a,\mathit{b},\mathit{a},c],[c,\mathit{b},\mathit{a},a]\}$
    {[a,b,a,c],[c,b,a,a]}

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Die Teilwort und Präfix Relationen definieren wir in folgender B Maschine:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 ::load
 MACHINE Alphabet
 SETS Sigma = {a,b,c}
 CONSTANTS ε, Sprachen, w₁, w₂, L₁, L₂
 ABSTRACT_CONSTANTS
 teilwort, präfix
 PROPERTIES
  ε ∈ seq(Sigma) ∧ size(ε) = 0 ∧
  Sprachen = {L | L ⊆ seq(Sigma)}∧
  w₁ = [a,a,b,c] ∧
  w₂ = [c,a,b,a] ∧
  L₁ = {w₁,w₂} ∧
  L₂ = {w₂, [a,a,a] } ∧
  teilwort = {ut,vt | ut∈seq(Sigma) & vt∈seq(Sigma) ∧ ∃(vt1,vt2).(vt1^ut^vt2 = vt)} ∧
  präfix = {up,vp | up∈seq(Sigma) & vp∈seq(Sigma) ∧ ∃(wp).(up^wp = vp)}
 DEFINITIONS SET_PREF_PP_SEQUENCES == TRUE
 END
 ```

 %% Output

    Loaded machine: Alphabet

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :constants
 ```

 %% Output

    Machine constants set up using operation 0: $setup_constants()

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 [a,a] ↦ [c,b,a,a,b] ∈ teilwort
 ```

 %% Output

    $\mathit{TRUE}$
    TRUE

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 [a,a,a] ↦ [c,b,a,a,b] ∈ teilwort
 ```

 %% Output

    $\mathit{FALSE}$
    FALSE

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 [c] ↦ [c,b,a,a,b] ∈ präfix
 ```

 %% Output

    $\mathit{TRUE}$
    TRUE

 %% Cell type:markdown id: tags:

 Man kann den Verkettungs Operator mehrfach anwenden:

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 {x| x ↦ [c,b,a,a,b] ∈ präfix}
 ```

 %% Output

    $\{[],[c],[c,b],[c,\mathit{b},a],[c,\mathit{b},\mathit{a},a],[c,\mathit{b},\mathit{a},\mathit{a},b]\}$
    {[],[c],[c,b],[c,b,a],[c,b,a,a],[c,b,a,a,b]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 {x| x ↦ [c,b,a,a,b] ∈ teilwort}
 ```

 %% Output

    $\{[],[a],[a,a],[a,b],[b],[b,a],[c],[c,b],[a,\mathit{a},b],[b,\mathit{a},a],[b,\mathit{a},\mathit{a},b],[c,\mathit{b},a],[c,\mathit{b},\mathit{a},a],[c,\mathit{b},\mathit{a},\mathit{a},b]\}$
    {[],[a],[a,a],[a,b],[b],[b,a],[c],[c,b],[a,a,b],[b,a,a],[b,a,a,b],[c,b,a],[c,b,a,a],[c,b,a,a,b]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :let TW {x| x ↦ [a,b,c] ∈ teilwort}
 ```

 %% Output

    $\{[],[a],[a,b],[b],[b,c],[c],[a,\mathit{b},c]\}$
    {[],[a],[a,b],[b],[b,c],[c],[a,b,c]}

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :pref DOT_DECOMPOSE_NODES=FALSE
 ```

 %% Output

    Preference changed: DOT_DECOMPOSE_NODES = FALSE

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("tw",{x,y | x |-> y : teilwort & y : TW })
 ```

 %% Output


    <Dot visualization: expr_as_graph [TWTW={[],[a],[a,b],[b],[b,c],[c],[a,b,c]}("tw",{x,y|(x,y):teilwort & y:TW})]>

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :dot expr_as_graph ("präfix",{x,y | x |-> y : präfix & y : TW })
 ```

 %% Output


    <Dot visualization: expr_as_graph [TWTW={[],[a],[a,b],[b],[b,c],[c],[a,b,c]}("präfix",{x,y|(x,y):präfix & y:TW})]>

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 :unlet TW
 ```

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` prob
 ```