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# Stetige Verteilungen
:::{admonition} Definition
Sei $X \colon \Omega \to \mathbb{R}$ eine Zufallsvariable, d.h. $\Omega$ ein Wahrscheinlichkeitsraum (eine Menge $\Omega$ zusammen mit einer $\sigma$-Algebra und einem Wahrscheinlichkeitsmaß $P_\Omega$) und $X$ eine Abbildung, sodass $P(X \in A) := P_\Omega(X^{-1}(A))$ für alle meßbaren Mengen $A \subseteq \mathbb{R}$ definiert ist.
Wenn $\Omega$ kein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist (z.B. weil $\Omega$ eine überabzählbar unendliche Menge ist, etwa $\Omega = \mathbb{R}^n$), und $X$ unendlich viele mögliche Werte annimmt, nennen wir $X$ eine *stetige Zufallsvariable*.
:::
:::{admonition} Definition
Man nennt die kleinste Menge $A \subset \mathbb{R}$ mit $P(X \in A)=1$ den *Träger* von $X$ und schreibt auch
$$
supp(X) = \bigcap \{ A \subseteq \mathbb{R} : P(X \in A) = 1 \}
$$
:::
Der Träger ist auch für diskrete reelle Zufallsvariablen definiert - der offensichtliche Unterschied ist, dass per definitionem diskrete Zufallsvariablen einen diskreten Träger haben (d.h. eine Menge reeller Zahlen, die keinen Häufungspunkt hat, insbesondere kein Intervall enthält).
## Dichtefunktionen
:::{admonition} Definition
Sei $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ und $f \colon \Omega \to [0,\infty)$ eine integrierbare Funktion (bezüglich des Lebesgue-Maßes auf $\mathbb{R}^n$) mit $\int_\Omega f(x) dx = 1$. Dann ist auf $\Omega$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert durch:
$$
\text{für } A \subseteq \Omega \text{ messbar ist } P(A) := \int_A f(x) dx
$$
Wir nennen für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß $P$, welches sich so schreiben lässt, die Funktion $f$ eine *Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion* (probability density function, pdf) oder kurz *Dichte* (gelegentlich Wahrscheinlichkeitsmassefunktion, pmf).
:::
Gegeben eine reelle Zufallsvariable $X \colon \Omega \to \mathbb{R}$, deren Verteilung $P_X$ durch eine Dichte $f$ gegeben ist, gilt also für $A \subseteq \mathbb{R}$
$$
\int_{X^{-1}(A)} d\omega = P(X \in A) = P_X(A) = \int_A f(x) dx
$$
Dieses rechte Integral ist nun ein Integral im Wertebereich von $X$.
Analog können wir auch den Erwartungswert und die Varianz berechnen:
$$
\mathbb{E}(X) = \int_\Omega X(\omega) d \omega = \int_{\mathbb{R}} x f(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx
$$
$$
\mathbb{V}(X) &= \int_\Omega \left(X(\omega)-\mathbb{E}(X)\right)^2 d \omega \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \left(x-\mathbb{E}(X)\right)^2 f(x) dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x) dx - {\left( \mathbb{E}(X) \right)}^2
$$
:::{admonition} Beispiel
Seien $a < b \in \mathbb{R}$. Mit $\Omega = \mathbb{R}^1$ und $f \colon \mathbb{R} \to [0,\infty)$ gegeben durch
$$
f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & \text{ wenn } x \in [a,b] \\ 0 & \text{ sonst} \end{cases}
$$
ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathbb{R}$ definiert, die *stetige Gleichverteilung* auf dem Intervall $[a,b]$.
Der Erwartungswert (wir nutzen $\int x dx = \frac{x^2}{2}$) ist $\mathbb{E}(X) =$
$$
\int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx = \int_a^b \frac{xdx}{b-a} = \frac{1}{b-a} \left[\frac{x^2}{2}\right]_a^b = \frac{b^2 -a^2}{2(b-a)} = \frac{(b+a)(b-a)}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}
$$
Das zweite Moment ist
$$
\mathbb{E}(X^2) = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)dx = \left[ \frac{x^3}{3(b-a)} \right]_a^b = \frac{b^3-a^3}{3(b-a)} = \frac{(b-a)(a+b)^2}{3(b-a)} = \frac{(a+b)^2}{3}
$$
Die Varianz ist
$$
\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^2) - {\left(\mathbb{E}(X)\right)}^2 = \frac{(a+b)^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{4-3}{12}(a+b)^2 = \frac{(a+b)^2}{12}
$$
:::
:::{admonition} Beispiel
Nicht jedes Wahrscheinlichkeitsmaß erlaubt eine Darstellung mit einer Dichte:
Betrachte auf $\mathbb{R}$ die Verteilung mit
$$
P(A) = \begin{cases} 1 & \text{ wenn } 0 \in A \\ 0 & \text{ sonst} \end{cases}
$$
Diese Verteilung heißt *Dirac-Verteilung* mit Masse bei $0$. Wenn man sich sehr viel Mühe gibt, so etwas ähnliches wie eine Dichte zu basteln, so muss man zur Theorie der Distributionen aus der Funktionalanalysis greifen (Physiker kennen das). Es gibt auch Verteilungen, da genügt auch keine Distribution.
:::
:::{admonition} Definition
Sei $(\Omega, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, dann nennen wir für eine Zufallsvariable $X \colon \Omega \to \mathbb{R}$x die Funktion
$$
F \colon \mathbb{R} \to [0,1],\qquad x \mapsto P(X \leq x)
$$
die *kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion* oder auch *Verteilungsfunktion* oder *cdf* (cumulative distribution function). Sie existiert immer, im Gegensatz zur Dichte (pdf).
:::
:::{admonition} Beispiel
Wenn $P_X$ eine Dichte $f \colon \mathbb{R} \to [0,\infty)$ hat,
also $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)dx$, so ist
$$
F(x) = \int_{-\infty}^x f(x)dx.
$$
:::
:::{admonition} Definition
Sei $X$ eine reelle Zufallsvariable, dann heißt
$$
M_X(t) := \mathbb{E}\left(e^{tX}\right)
$$
die *Momentenerzeugendenfunktion* von $X$
(wenn es ein kleines Intervall um $t=0$ gibt, sodass die entsprechenden Erwartungswerte für alle $t$ in diesem Intervall existieren).
:::
Wenn man die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion $e^x$ anschaut, dort für $x$ einfach $tX$ einsetzt, und dann den Erwartungswert bildet, kann man den Erwartungswert der Summe als Summe der Erwartungswerte sehen (Linearität des Erwartungswerts) und so ist diese Reihe einfach nur eine andere Art, die Momente von $X$ zu verpacken. Das $n$-te Moment lässt sich am Koeffizient von $t^n$ ablesen. Solche Erzeugendenfunktionen sind ein sehr nützliches Hilfsmittel in der Stochastik, aber auch in anderen kombinatorisch geprägten Gebieten, insbesondere der Informatik.
:::{admonition} Definition
Sei $X$ eine reelle Zufallsvariable, dann heißt
$$
\phi_X(t) := \mathbb{E}\left( e^{itX} \right)
$$
die *charakteristische Funktion* von $X$.
:::
Klar: $\phi_X(-it) = M_X(t)$, allerdings sind die Konvergenzeigenschaften von $\phi_X$ besser, daher existiert diese Funktion als Funktion in einer reellen Variable $t$ immer.
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