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# Reguläre Ausdrücke

Sei $\Sigma$ ein Alphabet.

Die __Menge der regulären Ausdrücke__ (über

  $\Sigma$) ist definiert durch:

* $\emptyset$ und $\lambda$ sind reguläre Ausdrücke.

* Jedes $a \in \Sigma$ ist ein regulärer Ausdruck.

*  Sind $\alpha$ und $\beta$ reguläre Ausdrücke, so sind auch

 * $\alpha \beta$,

 * $(\alpha + \beta)$ und

 * $(\alpha)^{\ast}$

* reguläre Ausdrücke.

* Nichts sonst ist ein regulärer Ausdruck.

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## Sprache regulärer Ausdrücke

Sei $\Sigma$ ein Alphabet.

Jedem regulären Ausdruck $\gamma$ ist in

  eindeutiger Weise eine Sprache $L(\gamma) \subseteq \Sigma^*$

  zugeordnet (wir sagen: $\gamma$ beschreibt

      $L(\gamma)$), die so definiert ist:

$L(\gamma)$ =

* $\emptyset$ falls $\gamma = \emptyset$

* $\{\lambda\}$ falls $\gamma = \lambda$

* $\{a\}$ falls $\gamma = a$ für ein $a \in \Sigma$

* $L(\alpha) L(\beta)$ falls $\gamma = \alpha \beta$

* $L(\alpha) \cup L(\beta)$ falls $\gamma = (\alpha + \beta)$

* $L(\alpha)^{*}$ falls $\gamma = (\alpha)^{*}$.

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Zwei reguläre Ausdrücke $\alpha_1$ und $\alpha_2$ heißen

 __äquivalent__ (kurz $\alpha_1 \sim \alpha_2$), falls

  $L(\alpha_1)=L(\alpha_2)$.

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Es sei $\Sigma=\{a,b\}$.

Der reguläre Ausdruck

* $\alpha_1 = (\lambda + a(a+b)^{*})$

beschreibt die Sprache

* $L(\alpha_1)$ =

* $L(\lambda + a(a+b)^{*})$ =

* $L(\lambda) \cup L(a(a+b)^{*})$ =

* $\{\lambda\} \cup L(a)L((a+b)^{*})$ =

* $\{\lambda\} \cup \{a\}(L(a+b))^{*}$ =

* $\{\lambda\} \cup \{a\}(L(a)\cup L(b))^{*}$ =

* $\{\lambda\} \cup \{a\}(\{a,b\})^{*}$ =

* $\{\lambda\} \cup \{ax \mid x \in \{a,b\}^{*}\}$

d.h. das leere Wort und alle Wörter über $\Sigma$, die mit $a$

beginnen.

Der reguläre Ausdruck

* $\alpha_2 = ((a+b)^* ab)$

beschreibt die Sprache:

* $L(\alpha_2) = \{xab \mid x \in \{a,b\}^{*}\}$

d.h. alle Wörter über $\Sigma$, die mit $ab$ enden.

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## Reguläre Ausdrücke in der Praxis

Um mit den praktischen Aspekten der regulären Ausdrücke zu experimentieren laden wir eine Bibliothek.

In dieser Bibliothek wird der Plus Operator anders geschrieben: ```a|b```.

Es gibt auch nicht den regulären Ausdruck $\emptyset$, aber dafür viele andere (abgeleitete) Operatoren (sogenannter syntaktischer Zucker), zum Beispiel:

* $\alpha^+$ als Kürzel für $\alpha(\alpha)^*$

* [a-z] als Kürzel für $(a+b+c+d+...+z)$

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``` prob

::load

MACHINE Regex

DEFINITIONS "LibraryRegex.def"

END

```

%% Output

    Loaded machine: Regex

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:init

```

%% Output

    Machine initialised using operation 0: $initialise_machine()

    Executed operation: INITIALISATION()

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Mit ```REGEX_MATCH(w,r)``` können wir prüfen ob ein Wort ```w``` von einem regulären Ausdruck ```r``` generiert wird:

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``` prob

REGEX_MATCH("a","a")

```

%% Output

    $\mathit{TRUE}$

    TRUE

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_MATCH("a","a|b")

```

%% Output

    $\mathit{TRUE}$

    TRUE

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_MATCH("aaaaaaa","a*")

```

%% Output

    $\mathit{TRUE}$

    TRUE

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_MATCH("","a*")

```

%% Output

    $\mathit{TRUE}$

    TRUE

%% Cell type:markdown id: tags:

Mit ```REGEX_SEARCH(w,i,r)``` können wir prüfen ob in einem Wort ```w``` ab der Position ```i``` ein Teilwort von ```r``` generiert wird.

Wenn ja werden die erste Position und das längste Teilwort das von dort aus akzeptiert wird ausgegeben.

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``` prob

REGEX_SEARCH("xxxaabc",1,"a*b")

```

%% Output

    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\mathit{rec}(\mathit{length}\in 3,\mathit{position}\in 4,\mathit{string}\in\text{"aab"},\mathit{submatches}\in\emptyset)$

    $\def\emptyset{\mathord\varnothing}\mathit{rec}(\mathit{length}\in 3,\mathit{position}\in 4,\mathit{string}\in\text{"aab"},\mathit{submatches}\in\emptyset)$

    rec(length∈3,position∈4,string∈"aab",submatches∈∅)

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Mit Mit ```REGEX_SEARCH_ALL(w,r)``` können wir in einem Wort ```w``` nach allen längsten Teilworten suchen die von ```r``` generiert werden.

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``` prob

REGEX_SEARCH_ALL("aabcbbca","(a|b)+")

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"aab"}),(2\mapsto\text{"bb"}),(3\mapsto\text{"a"})\}$

    {(1↦"aab"),(2↦"bb"),(3↦"a")}

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Zum Experimentieren definieren wir einen Auszug aus dem Faust

(Quelle: The Project Gutenberg EBook of Faust: Der Tragödie erster Teil, by  Johann Wolfgang von Goethe. Lizenz siehe www.gutenberg.net).

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``` prob

:let txt  '''

FAUST:

  Habe nun, ach!  Philosophie,

  Juristerei und Medizin,

  Und leider auch Theologie

  Durchaus studiert, mit heißem Bemühn.

  Da steh ich nun, ich armer Tor!

  Und bin so klug als wie zuvor;

  Heiße Magister, heiße Doktor gar

  Und ziehe schon an die zehen Jahr

  Herauf, herab und quer und krumm

  Meine Schüler an der Nase herum-

  Und sehe, daß wir nichts wissen können!

  Das will mir schier das Herz verbrennen.

  Zwar bin ich gescheiter als all die Laffen,

  Doktoren, Magister, Schreiber und Pfaffen;

  Mich plagen keine Skrupel noch Zweifel,

  Fürchte mich weder vor Hölle noch Teufel-

  Dafür ist mir auch alle Freud entrissen,

  Bilde mir nicht ein, was Rechts zu wissen,

  Bilde mir nicht ein, ich könnte was lehren,

  Die Menschen zu bessern und zu bekehren.

  Auch hab ich weder Gut noch Geld,

  Noch Ehr und Herrlichkeit der Welt;

  Es möchte kein Hund so länger leben!

  Drum hab ich mich der Magie ergeben,

  Ob mir durch Geistes Kraft und Mund

  Nicht manch Geheimnis würde kund;

  Daß ich nicht mehr mit saurem Schweiß

  Zu sagen brauche, was ich nicht weiß;

  Daß ich erkenne, was die Welt

  Im Innersten zusammenhält,

  Schau alle Wirkenskraft und Samen,

  Und tu nicht mehr in Worten kramen.

  '''

```

%% Output

    $\text{"\nFAUST:\n  Habe nun, ach!  Philosophie,\n  Juristerei und Medizin,\n  Und leider auch Theologie\n  Durchaus studiert, mit heißem Bemühn.\n  Da steh ich nun, ich armer Tor!\n  Und bin so klug als wie zuvor;\n  Heiße Magister, heiße Doktor gar\n  Und ziehe schon an die zehen Jahr\n  Herauf, herab und quer und krumm\n  Meine Schüler an der Nase herum-\n  Und sehe, daß wir nichts wissen können!\n  Das will mir schier das Herz verbrennen.\n  Zwar bin ich gescheiter als all die Laffen,\n  Doktoren, Magister, Schreiber und Pfaffen;\n  Mich plagen keine Skrupel noch Zweifel,\n  Fürchte mich weder vor Hölle noch Teufel-\n  Dafür ist mir auch alle Freud entrissen,\n  Bilde mir nicht ein, was Rechts zu wissen,\n  Bilde mir nicht ein, ich könnte was lehren,\n  Die Menschen zu bessern und zu bekehren.\n  Auch hab ich weder Gut noch Geld,\n  Noch Ehr und Herrlichkeit der Welt;\n  Es möchte kein Hund so länger leben!\n  Drum hab ich mich der Magie ergeben,\n  Ob mir durch Geistes Kraft und Mund\n  Nicht manch Geheimnis würde kund;\n  Daß ich nicht mehr mit saurem Schweiß\n  Zu sagen brauche, was ich nicht weiß;\n  Daß ich erkenne, was die Welt\n  Im Innersten zusammenhält,\n  Schau alle Wirkenskraft und Samen,\n  Und tu nicht mehr in Worten kramen.\n  "}$

    "\nFAUST:\n  Habe nun, ach!  Philosophie,\n  Juristerei und Medizin,\n  Und leider auch Theologie\n  Durchaus studiert, mit heißem Bemühn.\n  Da steh ich nun, ich armer Tor!\n  Und bin so klug als wie zuvor;\n  Heiße Magister, heiße Doktor gar\n  Und ziehe schon an die zehen Jahr\n  Herauf, herab und quer und krumm\n  Meine Schüler an der Nase herum-\n  Und sehe, daß wir nichts wissen können!\n  Das will mir schier das Herz verbrennen.\n  Zwar bin ich gescheiter als all die Laffen,\n  Doktoren, Magister, Schreiber und Pfaffen;\n  Mich plagen keine Skrupel noch Zweifel,\n  Fürchte mich weder vor Hölle noch Teufel-\n  Dafür ist mir auch alle Freud entrissen,\n  Bilde mir nicht ein, was Rechts zu wissen,\n  Bilde mir nicht ein, ich könnte was lehren,\n  Die Menschen zu bessern und zu bekehren.\n  Auch hab ich weder Gut noch Geld,\n  Noch Ehr und Herrlichkeit der Welt;\n  Es möchte kein Hund so länger leben!\n  Drum hab ich mich der Magie ergeben,\n  Ob mir durch Geistes Kraft und Mund\n  Nicht manch Geheimnis würde kund;\n  Daß ich nicht mehr mit saurem Schweiß\n  Zu sagen brauche, was ich nicht weiß;\n  Daß ich erkenne, was die Welt\n  Im Innersten zusammenhält,\n  Schau alle Wirkenskraft und Samen,\n  Und tu nicht mehr in Worten kramen.\n  "

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``` prob

REGEX_SEARCH_ALL(txt,"ich")

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"ich"}),(2\mapsto\text{"ich"}),(3\mapsto\text{"ich"}),(4\mapsto\text{"ich"}),(5\mapsto\text{"ich"}),(6\mapsto\text{"ich"}),(7\mapsto\text{"ich"}),(8\mapsto\text{"ich"}),(9\mapsto\text{"ich"}),(10\mapsto\text{"ich"}),(11\mapsto\text{"ich"}),(12\mapsto\text{"ich"}),(13\mapsto\text{"ich"}),(14\mapsto\text{"ich"}),(15\mapsto\text{"ich"}),(16\mapsto\text{"ich"}),(17\mapsto\text{"ich"}),(18\mapsto\text{"ich"}),(19\mapsto\text{"ich"}),(20\mapsto\text{"ich"})\}$

    {(1↦"ich"),(2↦"ich"),(3↦"ich"),(4↦"ich"),(5↦"ich"),(6↦"ich"),(7↦"ich"),(8↦"ich"),(9↦"ich"),(10↦"ich"),(11↦"ich"),(12↦"ich"),(13↦"ich"),(14↦"ich"),(15↦"ich"),(16↦"ich"),(17↦"ich"),(18↦"ich"),(19↦"ich"),(20↦"ich")}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH(txt,1,"G[a-z]*")

```

%% Output

    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\mathit{rec}(\mathit{length}\in 3,\mathit{position}\in 802,\mathit{string}\in\text{"Gut"},\mathit{submatches}\in\emptyset)$

    rec(length∈3,position∈802,string∈"Gut",submatches∈∅)

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH_ALL(txt,"G[a-z]*")

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"Gut"}),(2\mapsto\text{"Geld"}),(3\mapsto\text{"Geistes"}),(4\mapsto\text{"Geheimnis"})\}$

    {(1↦"Gut"),(2↦"Geld"),(3↦"Geistes"),(4↦"Geheimnis")}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH_ALL(txt,"der ([A-Z][a-z]*)")

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"der Nase"}),(2\mapsto\text{"der Gut"}),(3\mapsto\text{"der Welt"}),(4\mapsto\text{"der Magie"})\}$

    {(1↦"der Nase"),(2↦"der Gut"),(3↦"der Welt"),(4↦"der Magie")}

%% Cell type:markdown id: tags:

Kleine Anmerkung: mit Klammern kann man oft Gruppen bilden und herausfinden welches Teilwort von einer Gruppe generiert wurde.

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH(txt,1,"der ([A-Z][a-z]*)")

```

%% Output

    $\mathit{rec}(\mathit{length}\in 8,\mathit{position}\in 326,\mathit{string}\in\text{"der Nase"},\mathit{submatches}\in\{(1\mapsto\text{"Nase"})\})$

    rec(length∈8,position∈326,string∈"der Nase",submatches∈{(1↦"Nase")})

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Zusätzlich zu * und + gibt es ein Reihe weiter Wiederholungsoperatoren:

* ```R?``` 0 oder 1 Wiederholung von R

* ```R{n}``` $n$ Wiederholungen von R

* ```R{n,}``` $n$ oder mehr Wiederholungen von R

* ```R{m,n}``` $m$ bis $n$ Wiederholungen von R

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH_ALL(txt,"G[a-z]{3}")

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"Geld"}),(2\mapsto\text{"Geis"}),(3\mapsto\text{"Gehe"})\}$

    {(1↦"Geld"),(2↦"Geis"),(3↦"Gehe")}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH_ALL(txt,"G[a-z]{3,}")

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"Geld"}),(2\mapsto\text{"Geistes"}),(3\mapsto\text{"Geheimnis"})\}$

    {(1↦"Geld"),(2↦"Geistes"),(3↦"Geheimnis")}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH_ALL(txt,"G[a-z]{2,3}")

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"Gut"}),(2\mapsto\text{"Geld"}),(3\mapsto\text{"Geis"}),(4\mapsto\text{"Gehe"})\}$

    {(1↦"Gut"),(2↦"Geld"),(3↦"Geis"),(4↦"Gehe")}

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Es gibt natürlich in der Praxis noch eine Reihe an Sonderzeichen die man erkennen will.

Man kann deshalb alle Symbole der Syntax der regulären Ausdruckssprache mit ```\``` escapen. So zum Beispiel, ```a\|b``` oder ```a\+```:

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``` prob

REGEX_SEARCH("abca|bd",1,"a|b")

```

%% Output

    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\mathit{rec}(\mathit{length}\in 1,\mathit{position}\in 1,\mathit{string}\in\text{"a"},\mathit{submatches}\in\emptyset)$

    rec(length∈1,position∈1,string∈"a",submatches∈∅)

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH("abca|bd",1,"a\|b")

```

%% Output

    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\mathit{rec}(\mathit{length}\in 3,\mathit{position}\in 4,\mathit{string}\in\text{"a|b"},\mathit{submatches}\in\emptyset)$

    rec(length∈3,position∈4,string∈"a|b",submatches∈∅)

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH("abca+bd",1,"a+")

```

%% Output

    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\mathit{rec}(\mathit{length}\in 1,\mathit{position}\in 1,\mathit{string}\in\text{"a"},\mathit{submatches}\in\emptyset)$

    rec(length∈1,position∈1,string∈"a",submatches∈∅)

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH("abca+bd",1,"a\+")

```

%% Output

    $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\mathit{rec}(\mathit{length}\in 2,\mathit{position}\in 4,\mathit{string}\in\text{"a+"},\mathit{submatches}\in\emptyset)$

    rec(length∈2,position∈4,string∈"a+",submatches∈∅)

%% Cell type:markdown id: tags:

Es gibt auch verschiedene besondere Zeichen:

* ```\d``` für eine Ziffer

* ```\D``` für ein Zeichen, dass keine Ziffer ist

* ```\s``` für ein Leerzeichen

* ```\S``` für ein Zeichen, dass kein Leerzeichen ist

* ```\w``` für ein alpha-numerisches Zeichen oder den Underscore

* ```\W``` für ein Zeichen, dass kein alpha-numerisches Zeichen und kein Underscore ist

* ```.```  für alle Zeichen ausser Zeilenumbrüchen

* ```\n``` für einen Zeilenumbruch

* ```\t``` für ein Tabulatorzeichen

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH_ALL("ab cd ef","\w+")

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"ab"}),(2\mapsto\text{"cd"}),(3\mapsto\text{"ef"})\}$

    {(1↦"ab"),(2↦"cd"),(3↦"ef")}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH_ALL(txt,"\w+")

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"FAUST"}),(2\mapsto\text{"Habe"}),(3\mapsto\text{"nun"}),(4\mapsto\text{"ach"}),(5\mapsto\text{"Philosophie"}),(6\mapsto\text{"Juristerei"}),(7\mapsto\text{"und"}),(8\mapsto\text{"Medizin"}),(9\mapsto\text{"Und"}),(10\mapsto\text{"leider"}),(11\mapsto\text{"auch"}),(12\mapsto\text{"Theologie"}),(13\mapsto\text{"Durchaus"}),(14\mapsto\text{"studiert"}),(15\mapsto\text{"mit"}),(16\mapsto\text{"heißem"}),(17\mapsto\text{"Bemühn"}),(18\mapsto\text{"Da"}),(19\mapsto\text{"steh"}),(20\mapsto\text{"ich"}),(21\mapsto\text{"nun"}),(22\mapsto\text{"ich"}),(23\mapsto\text{"armer"}),(24\mapsto\text{"Tor"}),(25\mapsto\text{"Und"}),(26\mapsto\text{"bin"}),(27\mapsto\text{"so"}),(28\mapsto\text{"klug"}),(29\mapsto\text{"als"}),(30\mapsto\text{"wie"}),(31\mapsto\text{"zuvor"}),(32\mapsto\text{"Heiße"}),(33\mapsto\text{"Magister"}),(34\mapsto\text{"heiße"}),(35\mapsto\text{"Doktor"}),(36\mapsto\text{"gar"}),(37\mapsto\text{"Und"}),(38\mapsto\text{"ziehe"}),(39\mapsto\text{"schon"}),(40\mapsto\text{"an"}),(41\mapsto\text{"die"}),(42\mapsto\text{"zehen"}),(43\mapsto\text{"Jahr"}),(44\mapsto\text{"Herauf"}),(45\mapsto\text{"herab"}),(46\mapsto\text{"und"}),(47\mapsto\text{"quer"}),(48\mapsto\text{"und"}),(49\mapsto\text{"krumm"}),(50\mapsto\text{"Meine"}),(51\mapsto\text{"Schüler"}),(52\mapsto\text{"an"}),(53\mapsto\text{"der"}),(54\mapsto\text{"Nase"}),(55\mapsto\text{"herum"}),(56\mapsto\text{"Und"}),(57\mapsto\text{"sehe"}),(58\mapsto\text{"daß"}),(59\mapsto\text{"wir"}),(60\mapsto\text{"nichts"}),(61\mapsto\text{"wissen"}),(62\mapsto\text{"können"}),(63\mapsto\text{"Das"}),(64\mapsto\text{"will"}),(65\mapsto\text{"mir"}),(66\mapsto\text{"schier"}),(67\mapsto\text{"das"}),(68\mapsto\text{"Herz"}),(69\mapsto\text{"verbrennen"}),(70\mapsto\text{"Zwar"}),(71\mapsto\text{"bin"}),(72\mapsto\text{"ich"}),(73\mapsto\text{"gescheiter"}),(74\mapsto\text{"als"}),(75\mapsto\text{"all"}),(76\mapsto\text{"die"}),(77\mapsto\text{"Laffen"}),(78\mapsto\text{"Doktoren"}),(79\mapsto\text{"Magister"}),(80\mapsto\text{"Schreiber"}),(81\mapsto\text{"und"}),(82\mapsto\text{"Pfaffen"}),(83\mapsto\text{"Mich"}),(84\mapsto\text{"plagen"}),(85\mapsto\text{"keine"}),(86\mapsto\text{"Skrupel"}),(87\mapsto\text{"noch"}),(88\mapsto\text{"Zweifel"}),(89\mapsto\text{"Fürchte"}),(90\mapsto\text{"mich"}),(91\mapsto\text{"weder"}),(92\mapsto\text{"vor"}),(93\mapsto\text{"Hölle"}),(94\mapsto\text{"noch"}),(95\mapsto\text{"Teufel"}),(96\mapsto\text{"Dafür"}),(97\mapsto\text{"ist"}),(98\mapsto\text{"mir"}),(99\mapsto\text{"auch"}),(100\mapsto\text{"alle"}),(101\mapsto\text{"Freud"}),(102\mapsto\text{"entrissen"}),(103\mapsto\text{"Bilde"}),(104\mapsto\text{"mir"}),(105\mapsto\text{"nicht"}),(106\mapsto\text{"ein"}),(107\mapsto\text{"was"}),(108\mapsto\text{"Rechts"}),(109\mapsto\text{"zu"}),(110\mapsto\text{"wissen"}),(111\mapsto\text{"Bilde"}),(112\mapsto\text{"mir"}),(113\mapsto\text{"nicht"}),(114\mapsto\text{"ein"}),(115\mapsto\text{"ich"}),(116\mapsto\text{"könnte"}),(117\mapsto\text{"was"}),(118\mapsto\text{"lehren"}),(119\mapsto\text{"Die"}),(120\mapsto\text{"Menschen"}),(121\mapsto\text{"zu"}),(122\mapsto\text{"bessern"}),(123\mapsto\text{"und"}),(124\mapsto\text{"zu"}),(125\mapsto\text{"bekehren"}),(126\mapsto\text{"Auch"}),(127\mapsto\text{"hab"}),(128\mapsto\text{"ich"}),(129\mapsto\text{"weder"}),(130\mapsto\text{"Gut"}),(131\mapsto\text{"noch"}),(132\mapsto\text{"Geld"}),(133\mapsto\text{"Noch"}),(134\mapsto\text{"Ehr"}),(135\mapsto\text{"und"}),(136\mapsto\text{"Herrlichkeit"}),(137\mapsto\text{"der"}),(138\mapsto\text{"Welt"}),(139\mapsto\text{"Es"}),(140\mapsto\text{"möchte"}),(141\mapsto\text{"kein"}),(142\mapsto\text{"Hund"}),(143\mapsto\text{"so"}),(144\mapsto\text{"länger"}),(145\mapsto\text{"leben"}),(146\mapsto\text{"Drum"}),(147\mapsto\text{"hab"}),(148\mapsto\text{"ich"}),(149\mapsto\text{"mich"}),(150\mapsto\text{"der"}),(151\mapsto\text{"Magie"}),(152\mapsto\text{"ergeben"}),(153\mapsto\text{"Ob"}),(154\mapsto\text{"mir"}),(155\mapsto\text{"durch"}),(156\mapsto\text{"Geistes"}),(157\mapsto\text{"Kraft"}),(158\mapsto\text{"und"}),(159\mapsto\text{"Mund"}),(160\mapsto\text{"Nicht"}),(161\mapsto\text{"manch"}),(162\mapsto\text{"Geheimnis"}),(163\mapsto\text{"würde"}),(164\mapsto\text{"kund"}),(165\mapsto\text{"Daß"}),(166\mapsto\text{"ich"}),(167\mapsto\text{"nicht"}),(168\mapsto\text{"mehr"}),(169\mapsto\text{"mit"}),(170\mapsto\text{"saurem"}),(171\mapsto\text{"Schweiß"}),(172\mapsto\text{"Zu"}),(173\mapsto\text{"sagen"}),(174\mapsto\text{"brauche"}),(175\mapsto\text{"was"}),(176\mapsto\text{"ich"}),(177\mapsto\text{"nicht"}),(178\mapsto\text{"weiß"}),(179\mapsto\text{"Daß"}),(180\mapsto\text{"ich"}),(181\mapsto\text{"erkenne"}),(182\mapsto\text{"was"}),(183\mapsto\text{"die"}),(184\mapsto\text{"Welt"}),(185\mapsto\text{"Im"}),(186\mapsto\text{"Innersten"}),(187\mapsto\text{"zusammenhält"}),(188\mapsto\text{"Schau"}),(189\mapsto\text{"alle"}),(190\mapsto\text{"Wirkenskraft"}),(191\mapsto\text{"und"}),(192\mapsto\text{"Samen"}),(193\mapsto\text{"Und"}),(194\mapsto\text{"tu"}),(195\mapsto\text{"nicht"}),(196\mapsto\text{"mehr"}),(197\mapsto\text{"in"}),(198\mapsto\text{"Worten"}),(199\mapsto\text{"kramen"})\}$

    {(1↦"FAUST"),(2↦"Habe"),(3↦"nun"),(4↦"ach"),(5↦"Philosophie"),(6↦"Juristerei"),(7↦"und"),(8↦"Medizin"),(9↦"Und"),(10↦"leider"),(11↦"auch"),(12↦"Theologie"),(13↦"Durchaus"),(14↦"studiert"),(15↦"mit"),(16↦"heißem"),(17↦"Bemühn"),(18↦"Da"),(19↦"steh"),(20↦"ich"),(21↦"nun"),(22↦"ich"),(23↦"armer"),(24↦"Tor"),(25↦"Und"),(26↦"bin"),(27↦"so"),(28↦"klug"),(29↦"als"),(30↦"wie"),(31↦"zuvor"),(32↦"Heiße"),(33↦"Magister"),(34↦"heiße"),(35↦"Doktor"),(36↦"gar"),(37↦"Und"),(38↦"ziehe"),(39↦"schon"),(40↦"an"),(41↦"die"),(42↦"zehen"),(43↦"Jahr"),(44↦"Herauf"),(45↦"herab"),(46↦"und"),(47↦"quer"),(48↦"und"),(49↦"krumm"),(50↦"Meine"),(51↦"Schüler"),(52↦"an"),(53↦"der"),(54↦"Nase"),(55↦"herum"),(56↦"Und"),(57↦"sehe"),(58↦"daß"),(59↦"wir"),(60↦"nichts"),(61↦"wissen"),(62↦"können"),(63↦"Das"),(64↦"will"),(65↦"mir"),(66↦"schier"),(67↦"das"),(68↦"Herz"),(69↦"verbrennen"),(70↦"Zwar"),(71↦"bin"),(72↦"ich"),(73↦"gescheiter"),(74↦"als"),(75↦"all"),(76↦"die"),(77↦"Laffen"),(78↦"Doktoren"),(79↦"Magister"),(80↦"Schreiber"),(81↦"und"),(82↦"Pfaffen"),(83↦"Mich"),(84↦"plagen"),(85↦"keine"),(86↦"Skrupel"),(87↦"noch"),(88↦"Zweifel"),(89↦"Fürchte"),(90↦"mich"),(91↦"weder"),(92↦"vor"),(93↦"Hölle"),(94↦"noch"),(95↦"Teufel"),(96↦"Dafür"),(97↦"ist"),(98↦"mir"),(99↦"auch"),(100↦"alle"),(101↦"Freud"),(102↦"entrissen"),(103↦"Bilde"),(104↦"mir"),(105↦"nicht"),(106↦"ein"),(107↦"was"),(108↦"Rechts"),(109↦"zu"),(110↦"wissen"),(111↦"Bilde"),(112↦"mir"),(113↦"nicht"),(114↦"ein"),(115↦"ich"),(116↦"könnte"),(117↦"was"),(118↦"lehren"),(119↦"Die"),(120↦"Menschen"),(121↦"zu"),(122↦"bessern"),(123↦"und"),(124↦"zu"),(125↦"bekehren"),(126↦"Auch"),(127↦"hab"),(128↦"ich"),(129↦"weder"),(130↦"Gut"),(131↦"noch"),(132↦"Geld"),(133↦"Noch"),(134↦"Ehr"),(135↦"und"),(136↦"Herrlichkeit"),(137↦"der"),(138↦"Welt"),(139↦"Es"),(140↦"möchte"),(141↦"kein"),(142↦"Hund"),(143↦"so"),(144↦"länger"),(145↦"leben"),(146↦"Drum"),(147↦"hab"),(148↦"ich"),(149↦"mich"),(150↦"der"),(151↦"Magie"),(152↦"ergeben"),(153↦"Ob"),(154↦"mir"),(155↦"durch"),(156↦"Geistes"),(157↦"Kraft"),(158↦"und"),(159↦"Mund"),(160↦"Nicht"),(161↦"manch"),(162↦"Geheimnis"),(163↦"würde"),(164↦"kund"),(165↦"Daß"),(166↦"ich"),(167↦"nicht"),(168↦"mehr"),(169↦"mit"),(170↦"saurem"),(171↦"Schweiß"),(172↦"Zu"),(173↦"sagen"),(174↦"brauche"),(175↦"was"),(176↦"ich"),(177↦"nicht"),(178↦"weiß"),(179↦"Daß"),(180↦"ich"),(181↦"erkenne"),(182↦"was"),(183↦"die"),(184↦"Welt"),(185↦"Im"),(186↦"Innersten"),(187↦"zusammenhält"),(188↦"Schau"),(189↦"alle"),(190↦"Wirkenskraft"),(191↦"und"),(192↦"Samen"),(193↦"Und"),(194↦"tu"),(195↦"nicht"),(196↦"mehr"),(197↦"in"),(198↦"Worten"),(199↦"kramen")}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

ran(REGEX_SEARCH_ALL(txt,"\w+"))

```

%% Output

    $\{\text{"Auch"},\text{"Bemühn"},\text{"Bilde"},\text{"Da"},\text{"Dafür"},\text{"Das"},\text{"Daß"},\text{"Die"},\text{"Doktor"},\text{"Doktoren"},\text{"Drum"},\text{"Durchaus"},\text{"Ehr"},\text{"Es"},\text{"FAUST"},\text{"Freud"},\text{"Fürchte"},\text{"Geheimnis"},\text{"Geistes"},\text{"Geld"},\text{"Gut"},\text{"Habe"},\text{"Heiße"},\text{"Herauf"},\text{"Herrlichkeit"},\text{"Herz"},\text{"Hund"},\text{"Hölle"},\text{"Im"},\text{"Innersten"},\text{"Jahr"},\text{"Juristerei"},\text{"Kraft"},\text{"Laffen"},\text{"Magie"},\text{"Magister"},\text{"Medizin"},\text{"Meine"},\text{"Menschen"},\text{"Mich"},\text{"Mund"},\text{"Nase"},\text{"Nicht"},\text{"Noch"},\text{"Ob"},\text{"Pfaffen"},\text{"Philosophie"},\text{"Rechts"},\text{"Samen"},\text{"Schau"},\text{"Schreiber"},\text{"Schweiß"},\text{"Schüler"},\text{"Skrupel"},\text{"Teufel"},\text{"Theologie"},\text{"Tor"},\text{"Und"},\text{"Welt"},\text{"Wirkenskraft"},\text{"Worten"},\text{"Zu"},\text{"Zwar"},\text{"Zweifel"},\text{"ach"},\text{"all"},\text{"alle"},\text{"als"},\text{"an"},\text{"armer"},\text{"auch"},\text{"bekehren"},\text{"bessern"},\text{"bin"},\text{"brauche"},\text{"das"},\text{"daß"},\text{"der"},\text{"die"},\text{"durch"},\text{"ein"},\text{"entrissen"},\text{"ergeben"},\text{"erkenne"},\text{"gar"},\text{"gescheiter"},\text{"hab"},\text{"heiße"},\text{"heißem"},\text{"herab"},\text{"herum"},\text{"ich"},\text{"in"},\text{"ist"},\text{"kein"},\text{"keine"},\text{"klug"},\text{"kramen"},\text{"krumm"},\text{"kund"},\text{"können"},\text{"könnte"},\text{"leben"},\text{"lehren"},\text{"leider"},\text{"länger"},\text{"manch"},\text{"mehr"},\text{"mich"},\text{"mir"},\text{"mit"},\text{"möchte"},\text{"nicht"},\text{"nichts"},\text{"noch"},\text{"nun"},\text{"plagen"},\text{"quer"},\text{"sagen"},\text{"saurem"},\text{"schier"},\text{"schon"},\text{"sehe"},\text{"so"},\text{"steh"},\text{"studiert"},\text{"tu"},\text{"und"},\text{"verbrennen"},\text{"vor"},\text{"was"},\text{"weder"},\text{"weiß"},\text{"wie"},\text{"will"},\text{"wir"},\text{"wissen"},\text{"würde"},\text{"zehen"},\text{"ziehe"},\text{"zu"},\text{"zusammenhält"},\text{"zuvor"}\}$

    {"Auch","Bemühn","Bilde","Da","Dafür","Das","Daß","Die","Doktor","Doktoren","Drum","Durchaus","Ehr","Es","FAUST","Freud","Fürchte","Geheimnis","Geistes","Geld","Gut","Habe","Heiße","Herauf","Herrlichkeit","Herz","Hund","Hölle","Im","Innersten","Jahr","Juristerei","Kraft","Laffen","Magie","Magister","Medizin","Meine","Menschen","Mich","Mund","Nase","Nicht","Noch","Ob","Pfaffen","Philosophie","Rechts","Samen","Schau","Schreiber","Schweiß","Schüler","Skrupel","Teufel","Theologie","Tor","Und","Welt","Wirkenskraft","Worten","Zu","Zwar","Zweifel","ach","all","alle","als","an","armer","auch","bekehren","bessern","bin","brauche","das","daß","der","die","durch","ein","entrissen","ergeben","erkenne","gar","gescheiter","hab","heiße","heißem","herab","herum","ich","in","ist","kein","keine","klug","kramen","krumm","kund","können","könnte","leben","lehren","leider","länger","manch","mehr","mich","mir","mit","möchte","nicht","nichts","noch","nun","plagen","quer","sagen","saurem","schier","schon","sehe","so","steh","studiert","tu","und","verbrennen","vor","was","weder","weiß","wie","will","wir","wissen","würde","zehen","ziehe","zu","zusammenhält","zuvor"}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH_ALL(txt,"\n\w+")

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"\nFAUST"})\}$

    {(1↦"\nFAUST")}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH_ALL(txt,"\n\s*\w+")

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"\nFAUST"}),(2\mapsto\text{"\n  Habe"}),(3\mapsto\text{"\n  Juristerei"}),(4\mapsto\text{"\n  Und"}),(5\mapsto\text{"\n  Durchaus"}),(6\mapsto\text{"\n  Da"}),(7\mapsto\text{"\n  Und"}),(8\mapsto\text{"\n  Heiße"}),(9\mapsto\text{"\n  Und"}),(10\mapsto\text{"\n  Herauf"}),(11\mapsto\text{"\n  Meine"}),(12\mapsto\text{"\n  Und"}),(13\mapsto\text{"\n  Das"}),(14\mapsto\text{"\n  Zwar"}),(15\mapsto\text{"\n  Doktoren"}),(16\mapsto\text{"\n  Mich"}),(17\mapsto\text{"\n  Fürchte"}),(18\mapsto\text{"\n  Dafür"}),(19\mapsto\text{"\n  Bilde"}),(20\mapsto\text{"\n  Bilde"}),(21\mapsto\text{"\n  Die"}),(22\mapsto\text{"\n  Auch"}),(23\mapsto\text{"\n  Noch"}),(24\mapsto\text{"\n  Es"}),(25\mapsto\text{"\n  Drum"}),(26\mapsto\text{"\n  Ob"}),(27\mapsto\text{"\n  Nicht"}),(28\mapsto\text{"\n  Daß"}),(29\mapsto\text{"\n  Zu"}),(30\mapsto\text{"\n  Daß"}),(31\mapsto\text{"\n  Im"}),(32\mapsto\text{"\n  Schau"}),(33\mapsto\text{"\n  Und"})\}$

    {(1↦"\nFAUST"),(2↦"\n  Habe"),(3↦"\n  Juristerei"),(4↦"\n  Und"),(5↦"\n  Durchaus"),(6↦"\n  Da"),(7↦"\n  Und"),(8↦"\n  Heiße"),(9↦"\n  Und"),(10↦"\n  Herauf"),(11↦"\n  Meine"),(12↦"\n  Und"),(13↦"\n  Das"),(14↦"\n  Zwar"),(15↦"\n  Doktoren"),(16↦"\n  Mich"),(17↦"\n  Fürchte"),(18↦"\n  Dafür"),(19↦"\n  Bilde"),(20↦"\n  Bilde"),(21↦"\n  Die"),(22↦"\n  Auch"),(23↦"\n  Noch"),(24↦"\n  Es"),(25↦"\n  Drum"),(26↦"\n  Ob"),(27↦"\n  Nicht"),(28↦"\n  Daß"),(29↦"\n  Zu"),(30↦"\n  Daß"),(31↦"\n  Im"),(32↦"\n  Schau"),(33↦"\n  Und")}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:let jt '''

public class HelloWorld {

    public static void main(String[] args) {

        System.out.println("Hello, World");

        int res1 = 22*33;

        System.out.println(res);

    }

}

'''

```

%% Output

    $\text{" \npublic class HelloWorld {\n    public static void main(String[] args) {\n        System.out.println(\"Hello, World\");\n        int res1 = 22*33;\n        System.out.println(res);\n    }\n}\n"}$

    " \npublic class HelloWorld {\n    public static void main(String[] args) {\n        System.out.println(\"Hello, World\");\n        int res1 = 22*33;\n        System.out.println(res);\n    }\n}\n"

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:let Bezeichner "\b[A-Za-z_][A-Za-z0-9_]*"

```

%% Output

    $\text{"\b[A-Za-z_][A-Za-z0-9_]*"}$

    "\b[A-Za-z_][A-Za-z0-9_]*"

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:let Zahl "\b[0-9]+"

```

%% Output

    $\text{"\b[0-9]+"}$

    "\b[0-9]+"

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH_ALL(jt,Bezeichner)

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"public"}),(2\mapsto\text{"class"}),(3\mapsto\text{"HelloWorld"}),(4\mapsto\text{"public"}),(5\mapsto\text{"static"}),(6\mapsto\text{"void"}),(7\mapsto\text{"main"}),(8\mapsto\text{"String"}),(9\mapsto\text{"args"}),(10\mapsto\text{"System"}),(11\mapsto\text{"out"}),(12\mapsto\text{"println"}),(13\mapsto\text{"Hello"}),(14\mapsto\text{"World"}),(15\mapsto\text{"int"}),(16\mapsto\text{"res1"}),(17\mapsto\text{"System"}),(18\mapsto\text{"out"}),(19\mapsto\text{"println"}),(20\mapsto\text{"res"})\}$

    {(1↦"public"),(2↦"class"),(3↦"HelloWorld"),(4↦"public"),(5↦"static"),(6↦"void"),(7↦"main"),(8↦"String"),(9↦"args"),(10↦"System"),(11↦"out"),(12↦"println"),(13↦"Hello"),(14↦"World"),(15↦"int"),(16↦"res1"),(17↦"System"),(18↦"out"),(19↦"println"),(20↦"res")}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH_ALL(jt,Zahl)

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"22"}),(2\mapsto\text{"33"})\}$

    {(1↦"22"),(2↦"33")}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:let ComposedID "\b([A-Za-z_][A-Za-z0-9_]*)(\.([A-Za-z_][A-Za-z0-9_]*))+"

```

%% Output

    $\text{"\b([A-Za-z_][A-Za-z0-9_]*)(\.([A-Za-z_][A-Za-z0-9_]*))+"}$

    "\b([A-Za-z_][A-Za-z0-9_]*)(\.([A-Za-z_][A-Za-z0-9_]*))+"

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

REGEX_SEARCH_ALL(jt,ComposedID)

```

%% Output

    $\{(1\mapsto\text{"System.out.println"}),(2\mapsto\text{"System.out.println"})\}$

    {(1↦"System.out.println"),(2↦"System.out.println")}

%% Cell type:markdown id: tags:

## Zusammenfassung

Reguläre Ausdrücke können sehr nützlich sein.

Sie sind sehr mächtig, aber wir werden sehen, dass sie auch Grenzen haben.

Sie finden Verwendung

 * im Compilerbau (Tokenklassen zu definieren)

 * in Editoren und IDEs

  - Syntaxhighlighting, fortgeschrittene Suche (und Ersetzen)

 * auf der Kommandozeile (grep) und in Programmen

  - Verarbeiten von Log-Dateien, Einlesen oder Validierung von Daten, ...

Es gibt viele Bibliotheken und Bücher über reguläre Ausdrücke, zum Beispiel:

![Oreilly](https://covers.oreillystatic.com/images/9780596528126/lrg.jpg)

Es gibt auch diesen berühmten Comic von xkcd:

![Xkcd](https://imgs.xkcd.com/comics/regular_expressions.png)

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

```

%% Cell type:markdown id: tags:

# CYK Algorithmus

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

::load

MACHINE CYK

/* An encoding of the CYK Algorithm in B */

SETS

 ΣN = {a,b,   S,A,B,C}

DEFINITIONS

  ANIMATION_FUNCTION_DEFAULT == {r,c,i| r=-1 ∧ c↦i ∈ x};

  ANIMATION_FUNCTION == {r,c,i | c↦r ∈ dom(T) ∧ i=(T(c,r))}

CONSTANTS Σ, N, P, x, n

PROPERTIES

 Σ = {a,b} ∧ // Terminalsymbole

 Σ ∩ N = ∅ ∧

 Σ ∪ N = ΣN ∧

 /* eine kfG in Chomsky Normalform, Example 6.7 aus Hopcroft/Ullman */

 P = { // die Regeln

                  [S] ↦ [A,B], [S] ↦ [B,C],

                  [A] ↦ [B,A], [A] ↦ [a],

                  [B] ↦ [C,C], [B] ↦ [b],

                  [C] ↦ [A,B], [C] ↦ [a]

     } ∧

x ∈ seq(ΣN) ∧ n = size(x) ∧

x = [b,a,a,b,a]

VARIABLES T, i,j

INVARIANT T ∈ ((1..n)*(0..n)) ⇸ ℙ(N) ∧ j∈1..n ∧ i∈1..n-1

INITIALISATION

  T := λ(i,j).(i∈1..n ∧ j=0 | {A| A∈N ∧ [A] ↦ [x(i)] ∈ P})

  // for(i =1,2,...,n){T(i,0)={A∈N | 􏰁􏰁A→x(i) ist Regel in P}; }

  ||

  j := 1

  ||

  i := 1

OPERATIONS

  For_k_loop(ii,jj,Tij) = // führt eine Iteration der for(k=0,1,...j-1) Schleife aus

    PRE j<n ∧ ii=i ∧ jj=j ∧

        Tij = { A | A∈N ∧

                ∃(B,C,k).( [A] ↦ [B,C] ∈ P ∧

                           k∈0..j-1 ∧

                           B∈T(i,k) ∧

                           C∈T(i+k+1,j-k-1)) }  THEN

    T(i,j) := Tij ||

    IF i<n-j THEN

       i := i+1

    ELSE

       i := 1 || j := j+1

    END

  END;

  r <-- Accept = PRE j=n THEN r := bool(S∈ T(1,n-1)) END

END

```

%% Output

    Loaded machine: CYK

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:constants

```

%% Output

    Machine constants set up using operation 0: $setup_constants()

    Executed operation: SETUP_CONSTANTS()

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:init

```

%% Output

    Machine initialised using operation 1: $initialise_machine()

    Executed operation: INITIALISATION()

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:pref PP_SEQUENCES=TRUE

```

%% Output

    Preference changed: PP_SEQUENCES = TRUE

%% Cell type:markdown id: tags:

Wir lassen den Algorithmus für folgendes Wort $x$ laufen (und wollen prüfen ob die Grammatik das Wort generieren kann):

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

x

```

%% Output

    $\{(1\mapsto \mathit{b}),(2\mapsto \mathit{a}),(3\mapsto \mathit{a}),(4\mapsto \mathit{b}),(5\mapsto \mathit{a})\}$

    {(1↦b),(2↦a),(3↦a),(4↦b),(5↦a)}

    $[\mathit{b},\mathit{a},\mathit{a},\mathit{b},\mathit{a}]$

    [b,a,a,b,a]

%% Cell type:markdown id: tags:

Am Anfang werden die Werte für T(i,0) in der INITIALISATION der Maschine berechnet:

* for(i =1,2,...,n){T(i,0)={A∈N | A→x(i) ist Regel in P};}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:show

```

%% Output

    <table style="font-family:monospace"><tbody>

    <tr>

    <td style="padding:10px">b</td>

    <td style="padding:10px">a</td>

    <td style="padding:10px">a</td>

    <td style="padding:10px">b</td>

    <td style="padding:10px">a</td>

    </tr>

    <tr>

    <td style="padding:10px">{B}</td>

    <td style="padding:10px">{A,C}</td>

    <td style="padding:10px">{A,C}</td>

    <td style="padding:10px">{B}</td>

    <td style="padding:10px">{A,C}</td>

    </tr>

    </tbody></table>

    <Animation function visualisation>

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

N

```

%% Output

    $\{\mathit{S},\mathit{A},\mathit{B},\mathit{C}\}$

    {S,A,B,C}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

P

```

%% Output

    $\{(\{(1\mapsto \mathit{S})\}\mapsto\{(1\mapsto \mathit{A}),(2\mapsto \mathit{B})\}),(\{(1\mapsto \mathit{S})\}\mapsto\{(1\mapsto \mathit{B}),(2\mapsto \mathit{C})\}),(\{(1\mapsto \mathit{A})\}\mapsto\{(1\mapsto \mathit{a})\}),(\{(1\mapsto \mathit{A})\}\mapsto\{(1\mapsto \mathit{B}),(2\mapsto \mathit{A})\}),(\{(1\mapsto \mathit{B})\}\mapsto\{(1\mapsto \mathit{b})\}),(\{(1\mapsto \mathit{B})\}\mapsto\{(1\mapsto \mathit{C}),(2\mapsto \mathit{C})\}),(\{(1\mapsto \mathit{C})\}\mapsto\{(1\mapsto \mathit{a})\}),(\{(1\mapsto \mathit{C})\}\mapsto\{(1\mapsto \mathit{A}),(2\mapsto \mathit{B})\})\}$

    {({(1↦S)}↦{(1↦A),(2↦B)}),({(1↦S)}↦{(1↦B),(2↦C)}),({(1↦A)}↦{(1↦a)}),({(1↦A)}↦{(1↦B),(2↦A)}),({(1↦B)}↦{(1↦b)}),({(1↦B)}↦{(1↦C),(2↦C)}),({(1↦C)}↦{(1↦a)}),({(1↦C)}↦{(1↦A),(2↦B)})}

    $\{([\mathit{S}]\mapsto[\mathit{A},\mathit{B}]),([\mathit{S}]\mapsto[\mathit{B},\mathit{C}]),([\mathit{A}]\mapsto[\mathit{a}]),([\mathit{A}]\mapsto[\mathit{B},\mathit{A}]),([\mathit{B}]\mapsto[\mathit{b}]),([\mathit{B}]\mapsto[\mathit{C},\mathit{C}]),([\mathit{C}]\mapsto[\mathit{a}]),([\mathit{C}]\mapsto[\mathit{A},\mathit{B}])\}$

    {([S]↦[A,B]),([S]↦[B,C]),([A]↦[a]),([A]↦[B,A]),([B]↦[b]),([B]↦[C,C]),([C]↦[a]),([C]↦[A,B])}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

(i,j)

```

%% Output

    $(1\mapsto 1)$

    (1↦1)

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:exec For_k_loop

```

%% Output

    Executed operation: For_k_loop(1,1,{S,A})

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

(i,j)

```

%% Output

    $(2\mapsto 1)$

    (2↦1)

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:show

```

%% Output

    <table style="font-family:monospace"><tbody>

    <tr>

    <td style="padding:10px">b</td>

    <td style="padding:10px">a</td>

    <td style="padding:10px">a</td>

    <td style="padding:10px">b</td>

    <td style="padding:10px">a</td>

    </tr>

    <tr>

    <td style="padding:10px">{B}</td>

    <td style="padding:10px">{A,C}</td>

    <td style="padding:10px">{A,C}</td>

    <td style="padding:10px">{B}</td>

    <td style="padding:10px">{A,C}</td>

    </tr>

    <tr>

    <td style="padding:10px">{S,A}</td>

    <td style="padding:0px"></td>

    <td style="padding:0px"></td>

    <td style="padding:0px"></td>

    <td style="padding:0px"></td>

    </tr>

    </tbody></table>

    <Animation function visualisation>

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:exec For_k_loop

```

%% Output

    Executed operation: For_k_loop(2,1,{B})

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

(i,j)

```

%% Output

    $(3\mapsto 1)$

    (3↦1)

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:show

```

%% Output

    <table style="font-family:monospace"><tbody>

    <tr>

    <td style="padding:10px">b</td>

    <td style="padding:10px">a</td>

    <td style="padding:10px">a</td>

    <td style="padding:10px">b</td>

    <td style="padding:10px">a</td>

    </tr>

    <tr>

    <td style="padding:10px">{B}</td>

    <td style="padding:10px">{A,C}</td>

    <td style="padding:10px">{A,C}</td>

    <td style="padding:10px">{B}</td>

    <td style="padding:10px">{A,C}</td>

    </tr>

    <tr>

    <td style="padding:10px">{S,A}</td>

    <td style="padding:10px">{B}</td>

    <td style="padding:0px"></td>

    <td style="padding:0px"></td>

    <td style="padding:0px"></td>

    </tr>

    </tbody></table>

    <Animation function visualisation>

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

T

```

%% Output

    $\{(1\mapsto 0\mapsto\{\mathit{B}\}),(1\mapsto 1\mapsto\{\mathit{S},\mathit{A}\}),(2\mapsto 0\mapsto\{\mathit{A},\mathit{C}\}),(2\mapsto 1\mapsto\{\mathit{B}\}),(3\mapsto 0\mapsto\{\mathit{A},\mathit{C}\}),(4\mapsto 0\mapsto\{\mathit{B}\}),(5\mapsto 0\mapsto\{\mathit{A},\mathit{C}\})\}$

    {(1↦0↦{B}),(1↦1↦{S,A}),(2↦0↦{A,C}),(2↦1↦{B}),(3↦0↦{A,C}),(4↦0↦{B}),(5↦0↦{A,C})}

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:exec For_k_loop

```

%% Output

    Executed operation: For_k_loop(3,1,{S,C})

%% Cell type:code id: tags:

``` prob

:exec For_k_loop

```