Commit 50d57e8c authored by Michael Leuschel's avatar Michael Leuschel
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Signed-off-by: default avatarMichael Leuschel <leuschel@uni-duesseldorf.de>
parent 56305031
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
# Vorlesung: B Sprache # Vorlesung: B Sprache
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Struktur von Event-B Modellen ## Struktur von Event-B Modellen
Ein Event-B System besteht aus Ein Event-B System besteht aus
* statischen Teilen: die Kontexte * statischen Teilen: die Kontexte
- definieren Konstanten, Basismengen, Axiome, Theoreme - definieren Konstanten, Basismengen, Axiome, Theoreme
* dynamischen Teilen: Maschinen * dynamischen Teilen: Maschinen
- definieren Variablen, Ereignisse, Invarianten - definieren Variablen, Ereignisse, Invarianten
* Kontexte können von Maschinen gesehen werden * Kontexte können von Maschinen gesehen werden
* Kontexte und Maschinen können verfeinert werden * Kontexte und Maschinen können verfeinert werden
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Syntaktische Klassen ## Syntaktische Klassen
Es gibt drei Arten von Formeln in B: Es gibt drei Arten von Formeln in B:
- **Ausdrücke** (Expressions): haben einen Wert, verändern den Zustand einer B Maschine *nicht* - **Ausdrücke** (Expressions): haben einen Wert, verändern den Zustand einer B Maschine *nicht*
- **Prädikate** (Predicates): sind wahr oder falsch, haben *keinen* Wert und verändern den Zustand der Maschine *nicht* - **Prädikate** (Predicates): sind wahr oder falsch, haben *keinen* Wert und verändern den Zustand der Maschine *nicht*
- **Anweisungen** (Substitutions, Statements): haben keinen Wert, können aber den Zustand einer Maschine verändern - **Anweisungen** (Substitutions, Statements): haben keinen Wert, können aber den Zustand einer Maschine verändern
Anweisungen sind zB `x := x+1` und können nur in Maschinen, nicht in Kontexten verwendet werden. Anweisungen sind zB `x := x+1` und können nur in Maschinen, nicht in Kontexten verwendet werden.
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Dies ist ein Ausdruck in B: Dies ist ein Ausdruck in B:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
2+3 2+3
``` ```
%% Output %% Output
$5$ $5$
5 5
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Dies ist ein Prädikat in B: Dies ist ein Prädikat in B:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
2>3 2>3
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{FALSE}$ $\mathit{FALSE}$
FALSE FALSE
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
B unterscheidet streng zwischen den Bool'schen Werten TRUE und FALSE und zwischen Prädikaten die wahr und falsch sind. Folgendes ist ein valider Ausdruck in B und beschreibt die Menge bestehend aus dem Bool'schen Wert `FALSE`: B unterscheidet streng zwischen den Bool'schen Werten TRUE und FALSE und zwischen Prädikaten die wahr und falsch sind. Folgendes ist ein valider Ausdruck in B und beschreibt die Menge bestehend aus dem Bool'schen Wert `FALSE`:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{FALSE} {FALSE}
``` ```
%% Output %% Output
$\{\mathit{FALSE}\}$ $\{\mathit{FALSE}\}$
{FALSE} {FALSE}
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Folgendes ist **kein** valider Ausdruck in B: Folgendes ist **kein** valider Ausdruck in B:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{bool(2>3)} {bool(2>3)}
``` ```
%% Output %% Output
$\{\mathit{FALSE}\}$ $\{\mathit{FALSE}\}$
{FALSE} {FALSE}
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Syntax ## Syntax
Die meisten Operatoren in B können entweder als ASCII Zeichenkette oder als Unicode Symbol eingegeben werden. Die meisten Operatoren in B können entweder als ASCII Zeichenkette oder als Unicode Symbol eingegeben werden.
Die Syntax von Event-B und klassischem B unterscheidet sich leicht. Die Syntax von Event-B und klassischem B unterscheidet sich leicht.
In Rodin muss man Event-B Syntax verwenden; Jupyter verwendet momentan nur klassisches B. In Rodin muss man Event-B Syntax verwenden; Jupyter verwendet momentan nur klassisches B.
Zum Beispiel benutzt Rodin `^` zum Potenzieren, während man im klassische B `**` verwendet: Zum Beispiel benutzt Rodin `^` zum Potenzieren, während man im klassische B `**` verwendet:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
2**100 2**100
``` ```
%% Output %% Output
$1267650600228229401496703205376$ $1267650600228229401496703205376$
1267650600228229401496703205376 1267650600228229401496703205376
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
In Rodin wird `**` für das kartesische Produkt verwendet, im klassischen B verwendet man dafür `*`. In Rodin wird `**` für das kartesische Produkt verwendet, im klassischen B verwendet man dafür `*`.
Wir laden jetzt ein leeres Event-B Modell um den Parser in den Event-B Modus zu wechseln. Wir laden jetzt ein leeres Event-B Modell um den Parser in den Event-B Modus zu wechseln.
Man kann auch das Kommando ```:language event_b``` verwenden um den Parser umzustellen.
Mit ```:language classical_b``` kann man zurück zum normalen B Parser wechseln.
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
:load models/empty_ctx.eventb :load models/empty_ctx.eventb
``` ```
%% Output %% Output
Loaded machine: empty_ctx Loaded machine: empty_ctx
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
2^100 2^100
``` ```
%% Output %% Output
$1267650600228229401496703205376$ $1267650600228229401496703205376$
1267650600228229401496703205376 1267650600228229401496703205376
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Semantische Grundlage von B ## Semantische Grundlage von B
* Arithmetik (ganze Zahlen) ÷ + − ≤ * Arithmetik (ganze Zahlen) ÷ + − ≤
* Prädikatenlogik ⇒ ∀ * Prädikatenlogik ⇒ ∀
* Mengentheorie ∩ ∪ ⊆ ∈ * Mengentheorie ∩ ∪ ⊆ ∈
* Paare * Paare
* Relationen,Funktionen, Sequenzen/Folgen, Bäume * Relationen,Funktionen, Sequenzen/Folgen, Bäume
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Aussagenlogik ## Aussagenlogik
B unterstützt folgende Junktoren der Aussagenlogik: B unterstützt folgende Junktoren der Aussagenlogik:
Junktor | ASCII | Unicode Junktor | ASCII | Unicode
-------|-------|----- -------|-------|-----
Konjunktion | & | ∧ Konjunktion | & | ∧
Disjunktion | or | ∨ Disjunktion | or | ∨
Negation | not | ¬ Negation | not | ¬
Implikation | => | ⇒ Implikation | => | ⇒
Äquivalenz | <=> | ⇔ Äquivalenz | <=> | ⇔
Mit `:prettyprint` kann man sich die Unicode Version einer Formel ausgeben lassen: Mit `:prettyprint` kann man sich die Unicode Version einer Formel ausgeben lassen:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
:prettyprint not(2>3 or 4>2) <=> 5>2 :prettyprint not(2>3 or 4>2) <=> 5>2
``` ```
%% Output %% Output
$\neg (2 > 3 \vee 4 > 2) \mathbin\Leftrightarrow 5 > 2$ $\neg (2 > 3 \vee 4 > 2) \mathbin\Leftrightarrow 5 > 2$
¬(2 > 3 ∨ 4 > 2) ⇔ 5 > 2 ¬(2 > 3 ∨ 4 > 2) ⇔ 5 > 2
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Man kann eine Aussage natürlich auch auswerten: Man kann eine Aussage natürlich auch auswerten:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
not(2>3 or 4>2) <=> 5>2 not(2>3 or 4>2) <=> 5>2
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{FALSE}$ $\mathit{FALSE}$
FALSE FALSE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
2>3 or 4>2 2>3 or 4>2
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
not(2>3 or 4>2) not(2>3 or 4>2)
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{FALSE}$ $\mathit{FALSE}$
FALSE FALSE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
5>2 5>2
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
### Prioritäten ### Prioritäten
* höchste Priorität: ¬ * höchste Priorität: ¬
* danach ∧ , ∨ * danach ∧ , ∨
* danach ⇒ , ⇔ * danach ⇒ , ⇔
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
2>0 or 3>4 ⇒ 4>5 2>0 or 3>4 ⇒ 4>5
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{FALSE}$ $\mathit{FALSE}$
FALSE FALSE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
2>0 or (3>4 ⇒ 4>5) 2>0 or (3>4 ⇒ 4>5)
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
(2>0 or 3>4) ⇒ 4>5 (2>0 or 3>4) ⇒ 4>5
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{FALSE}$ $\mathit{FALSE}$
FALSE FALSE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
(1=1 => 2=2) => 3=1 (1=1 => 2=2) => 3=1
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{FALSE}$ $\mathit{FALSE}$
FALSE FALSE
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
*Achtung:* *Achtung:*
* in Rodin/Event-B haben Konjunktion und Disjunktion die gleiche Priorität und dürfen nicht ohne Klammerung gemischt werden. In klassischem B schon. * in Rodin/Event-B haben Konjunktion und Disjunktion die gleiche Priorität und dürfen nicht ohne Klammerung gemischt werden. In klassischem B schon.
* Das gleiche gilt für => und <=>. * Das gleiche gilt für => und <=>.
* In Rodin ist auch keine Assoziativität für => oder <=> definiert worden. Man darf diese Operatoren also auch nicht untereinander ohne Klammern mischen. * In Rodin ist auch keine Assoziativität für => oder <=> definiert worden. Man darf diese Operatoren also auch nicht untereinander ohne Klammern mischen.
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
2>1 or 2>3 & 3>4 2>1 or 2>3 & 3>4
``` ```
%% Output %% Output
de.prob.animator.domainobjects.EvaluationException: Could not parse formula: de.prob.animator.domainobjects.EvaluationException: Could not parse formula:
Parsing predicate failed because: Operator: ∨ is not compatible with: ∧, parentheses are required Parsing predicate failed because: Operator: ∨ is not compatible with: ∧, parentheses are required
Operator: ∨ is not compatible with: ∧, parentheses are required Operator: ∨ is not compatible with: ∧, parentheses are required
Parsing expression failed because: Operator: ∨ is not compatible with: ∧, parentheses are required Parsing expression failed because: Operator: ∨ is not compatible with: ∧, parentheses are required
Operator: ∨ is not compatible with: ∧, parentheses are required Operator: ∨ is not compatible with: ∧, parentheses are required
Parsing substitution failed because: Unknown operator: (expected to find an assignment operator) Parsing substitution failed because: Unknown operator: (expected to find an assignment operator)
Unknown operator: (expected to find an assignment operator) Unknown operator: (expected to find an assignment operator)
Code: 2>1 or 2>3 & 3>4 Code: 2>1 or 2>3 & 3>4
Unicode translation: 2>1 ∨ 2>3 ∧ 3>4 Unicode translation: 2>1 ∨ 2>3 ∧ 3>4
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Prädikate ## Prädikate
In Event-B gibt es die Aussagen true (⊤) und false (⊥) (nicht verwechseln mit den Bool'schen Datenwerten TRUE und FALSE). Im klassichen B gibt es diese beiden Aussagen nicht (wobei ProB `btrue` und `bfalse` akzeptiert). In Event-B gibt es die Aussagen true (⊤) und false (⊥) (nicht verwechseln mit den Bool'schen Datenwerten TRUE und FALSE). Im klassichen B gibt es diese beiden Aussagen nicht (wobei ProB `btrue` und `bfalse` akzeptiert).
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
true or false true or false
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Wahrheitswerte können über Prädikate hergestellt werden: Wahrheitswerte können über Prädikate hergestellt werden:
* ein n-äres Pradikat bekommt n Datenwerte und bildet diese auf einen Wahrheitswert ab * ein n-äres Pradikat bekommt n Datenwerte und bildet diese auf einen Wahrheitswert ab
Für alle Datentypen gibt es die binären Pradikate = und ≠ (wobei gilt x ≠ y ⇔ ¬(x=y)). Für alle Datentypen gibt es die binären Pradikate = und ≠ (wobei gilt x ≠ y ⇔ ¬(x=y)).
Für Zahlen gibt es die mathematischen Vergleichsoperatoren. Für Mengen werden noch weitere Prädikate hinzukommen. Für Zahlen gibt es die mathematischen Vergleichsoperatoren. Für Mengen werden noch weitere Prädikate hinzukommen.
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
2 = 3-1 2 = 3-1
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
3 ≠ 3+1 3 ≠ 3+1
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
4 >= 2+2 4 >= 2+2
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Quantoren ## Quantoren
In B gibt es zwei Quantoren die neue Variablen einführen: In B gibt es zwei Quantoren die neue Variablen einführen:
* den Existenzquantor (mindestens eins) * den Existenzquantor (mindestens eins)
- #x.(P) ∃x.(P) - #x.(P) ∃x.(P)
* den Allquantor/Universalquantor (alle / jeder) * den Allquantor/Universalquantor (alle / jeder)
- !x.(P => Q) ∀(x).(P ⇒ Q) - !x.(P => Q) ∀(x).(P ⇒ Q)
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
∃x .( x>2 ) ∃x .( x>2 )
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
∀x .( x>2 ⇒ x>3 ) ∀x .( x>2 ⇒ x>3 )
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{FALSE}$ $\mathit{FALSE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{x} = 3$ * $\mathit{x} = 3$
FALSE FALSE
Solution: Solution:
x = 3 x = 3
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
∀x .( x>2 & x < 100 ⇒ ∃y.(x=y+y)) ∀x .( x>2 & x < 100 ⇒ ∃y.(x=y+y))
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{FALSE}$ $\mathit{FALSE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{x} = 3$ * $\mathit{x} = 3$
FALSE FALSE
Solution: Solution:
x = 3 x = 3
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
∀x .( x>2 & x < 100 ⇒ ∃y.(x=y+y) or ∃y.(x=y+y+1)) ∀x .( x>2 & x < 100 ⇒ ∃y.(x=y+y) or ∃y.(x=y+y+1))
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
### Typisierung bei Quantoren ### Typisierung bei Quantoren
B basiert auf typisierter Logik B basiert auf typisierter Logik
* Bei Quantoren, zum Beispiel, müssen die neuen Variablen typisiert werden * Bei Quantoren, zum Beispiel, müssen die neuen Variablen typisiert werden
- ∃x.(2>3) ist nicht erlaubt - ∃x.(2>3) ist nicht erlaubt
Generell: für ∃x.(P) und ∀(x).(P ⇒ Q) muss P den Typen von x bestimmbar machen Generell: für ∃x.(P) und ∀(x).(P ⇒ Q) muss P den Typen von x bestimmbar machen
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Arithmetik ## Arithmetik
B bietet Arithmetik über *ganzen* Zahlen an. B bietet Arithmetik über *ganzen* Zahlen an.
Folgende Zahlenmengen sind vordefiniert: Folgende Zahlenmengen sind vordefiniert:
* INT, ℤ * INT, ℤ
* NAT = {x|x≥0}, ℕ * NAT = {x|x≥0}, ℕ
* NAT1= {x|x≥1}, ℕ1 * NAT1= {x|x≥1}, ℕ1
In Atelier-B (klassisches B für die Softwareentwicklung, nicht in Rodin) wird zwischen mathematischen und implementierbaren Zahlen unterschieden: In Atelier-B (klassisches B für die Softwareentwicklung, nicht in Rodin) wird zwischen mathematischen und implementierbaren Zahlen unterschieden:
* Mathematische ganze Zahlen: INTEGER, NATURAL, NATURAL1 * Mathematische ganze Zahlen: INTEGER, NATURAL, NATURAL1
* Implementierbare ganze Zahlen: INT, NAT, NAT1 * Implementierbare ganze Zahlen: INT, NAT, NAT1
* MININT, MAXINT * MININT, MAXINT
NATURAL aus dem klassischem B entspricht also NAT in Rodin. NATURAL aus dem klassischem B entspricht also NAT in Rodin.
NAT aus dem klassischen B entspricht 0..MAXINT in Rodin, wobei MAXINT als Konstante definiert werden muss. NAT aus dem klassischen B entspricht 0..MAXINT in Rodin, wobei MAXINT als Konstante definiert werden muss.
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
0:ℕ 0:ℕ
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
0:NAT1 0:NAT1
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{FALSE}$ $\mathit{FALSE}$
FALSE FALSE
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
### Divsion ### Divsion
B benutzt ganzzahlige Division und es gilt zB das Gesetz B benutzt ganzzahlige Division und es gilt zB das Gesetz
* b≠0 ⇒ a ÷ b = (−a) ÷ (−b) * b≠0 ⇒ a ÷ b = (−a) ÷ (−b)
Man hat auch: Man hat auch:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
3/2 3/2
``` ```
%% Output %% Output
$1$ $1$
1 1
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
-3 / 2 -3 / 2
``` ```
%% Output %% Output
$-1$ $-1$
−1 −1
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
In Python bekommt man In Python bekommt man
``` ```
>>> (-3)//2 >>> (-3)//2
-2 -2
``` ```
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Division durch 0 und modulo durch negative Zahlen ist nicht definiert. Division durch 0 und modulo durch negative Zahlen ist nicht definiert.
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
100 mod -2 100 mod -2
``` ```
%% Output %% Output
:eval: NOT-WELL-DEFINED: :eval: NOT-WELL-DEFINED:
mod not defined for negative numbers: 100 mod-2 mod not defined for negative numbers: 100 mod-2
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Mengen ## Mengen
Mengen sind ein fundamentales Konzept in B. Mengen sind ein fundamentales Konzept in B.
In eine Mengen darf man nur Werten eines gleichen Typs packen. In eine Mengen darf man nur Werten eines gleichen Typs packen.
Mengen dürfen aber verschachtelt werden. Mengen dürfen aber verschachtelt werden.
Die einfachste Menge ist die leere Menge: Die einfachste Menge ist die leere Menge:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{} {}
``` ```
%% Output %% Output
$\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\emptyset$ $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\emptyset$
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Man kann Mengen durch **explizite Aufzählung** (Enumeration, set extension auf Englisch) definieren: Man kann Mengen durch **explizite Aufzählung** (Enumeration, set extension auf Englisch) definieren:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{1,1+1,2,2+2,3,4} {1,1+1,2,2+2,3,4}
``` ```
%% Output %% Output
$\{1,2,3,4\}$ $\{1,2,3,4\}$
{1,2,3,4} {1,2,3,4}
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Mengen können auch mit Hilfe eines Prädikats definiert werden (set comprehension auf Englisch). Die Syntaxform ist `{x | P}`. Mengen können auch mit Hilfe eines Prädikats definiert werden (set comprehension auf Englisch). Die Syntaxform ist `{x | P}`.
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{x | x>0 & x<5} {x | x>0 & x<5}
``` ```
%% Output %% Output
$\{1,2,3,4\}$ $\{1,2,3,4\}$
{1,2,3,4} {1,2,3,4}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{x|x>2+2} {x|x>2+2}
``` ```
%% Output %% Output
$\{\mathit{x}\mid \mathit{x} > 4\}$ $\{\mathit{x}\mid \mathit{x} > 4\}$
{x∣x > 4} {x∣x > 4}
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Eine Menge an Zahlen kann auch mit der Intervallnotation ``a..b`` definiert werden: Eine Menge an Zahlen kann auch mit der Intervallnotation ``a..b`` definiert werden:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
1..4 1..4
``` ```
%% Output %% Output
$\{1,2,3,4\}$ $\{1,2,3,4\}$
{1,2,3,4} {1,2,3,4}
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Die Kardinalität (Mächtigkeit) einer endlichen Menge kann mit dem card Operator bestimmt werden: Die Kardinalität (Mächtigkeit) einer endlichen Menge kann mit dem card Operator bestimmt werden:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
card({1,1+1,2,2+2,3,4}) card({1,1+1,2,2+2,3,4})
``` ```
%% Output %% Output
$4$ $4$
4 4
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
card({x|x>2}) card({x|x>2})
``` ```
%% Output %% Output
:eval: NOT-WELL-DEFINED: :eval: NOT-WELL-DEFINED:
card applied to very large set, cardinality not representable in ProB: closure([x],[integer],b(greater(b(identifier(...),integer,[...]),b(value(...),integer,[...])),pred,[nodeid(none)])) card applied to very large set, cardinality not representable in ProB: closure([x],[integer],b(greater(b(identifier(...),integer,[...]),b(value(...),integer,[...])),pred,[nodeid(none)]))
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Mengen können andere Mengen beinhalten: Mengen können andere Mengen beinhalten:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{ 1..4 , {1,2,3,4,2+2}, {}} { 1..4 , {1,2,3,4,2+2}, {}}
``` ```
%% Output %% Output
$\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{\emptyset,\{1,2,3,4\}\}$ $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{\emptyset,\{1,2,3,4\}\}$
{∅,{1,2,3,4}} {∅,{1,2,3,4}}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
card({ 1..4 , {1,2,3,4,2+2}, {}}) card({ 1..4 , {1,2,3,4,2+2}, {}})
``` ```
%% Output %% Output
$2$ $2$
2 2
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Was ist der Untschied zwischen der leeren Menge ∅ und { ∅ }? Was ist der Untschied zwischen der leeren Menge ∅ und { ∅ }?
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
∅ = {∅} ∅ = {∅}
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{FALSE}$ $\mathit{FALSE}$
FALSE FALSE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
card(∅) card(∅)
``` ```
%% Output %% Output
$0$ $0$
0 0
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
card({∅}) card({∅})
``` ```
%% Output %% Output
$1$ $1$
1 1
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
∅ : {∅} ∅ : {∅}
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Die Notation `{x | P}` wobei eine Menge per Prädikat definiert wird ist die mächtigste Notation. Die Notation `{x | P}` wobei eine Menge per Prädikat definiert wird ist die mächtigste Notation.
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{x | x>1 & x<1 } {x | x>1 & x<1 }
``` ```
%% Output %% Output
$\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\emptyset$ $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\emptyset$
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{x | x=1 or x=2 } {x | x=1 or x=2 }
``` ```
%% Output %% Output
$\{1,2\}$ $\{1,2\}$
{1,2} {1,2}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{x | x>=1 & x<=4 } {x | x>=1 & x<=4 }
``` ```
%% Output %% Output
$\{1,2,3,4\}$ $\{1,2,3,4\}$
{1,2,3,4} {1,2,3,4}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
NAT = {x | x>=0 } NAT = {x | x>=0 }
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Prädikate über Mengen ## Prädikate über Mengen
Es gibt die Standardprädikate der Mathematik: Es gibt die Standardprädikate der Mathematik:
* *
* *
* *
* *
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
:prettyprint {1,2,3} /<<: {1,2,3} :prettyprint {1,2,3} /<<: {1,2,3}
``` ```
%% Output %% Output
$\{1,2,3\} \not\subset \{1,2,3\}$ $\{1,2,3\} \not\subset \{1,2,3\}$
{1,2,3} ⊄ {1,2,3} {1,2,3} ⊄ {1,2,3}
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Operatoren über Mengen ## Operatoren über Mengen
* Vereinigung \/ * Vereinigung \/
* Schnittmenge /\ * Schnittmenge /\
* Differenzmenge \ * Differenzmenge \
* union(S), inter(S) für Menge von Mengen * union(S), inter(S) für Menge von Mengen
* POW(S) (Potenzmenge: Untermengen von S) * POW(S) (Potenzmenge: Untermengen von S)
* POW1(S) (nicht leeren Untermengen von S) * POW1(S) (nicht leeren Untermengen von S)
Übung: diese Operatoren durch comprehension sets definieren Übung: diese Operatoren durch comprehension sets definieren
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
a = {1,2,4} & b = {2,3,4} & aub1 = a ∪ b & a = {1,2,4} & b = {2,3,4} & aub1 = a ∪ b &
aub2 = {x | x:a or x:b} aub2 = {x | x:a or x:b}
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{a} = \{1,2,4\}$ * $\mathit{a} = \{1,2,4\}$
* $\mathit{b} = \{2,3,4\}$ * $\mathit{b} = \{2,3,4\}$
* $\mathit{aub2} = \{1,2,3,4\}$ * $\mathit{aub2} = \{1,2,3,4\}$
* $\mathit{aub1} = \{1,2,3,4\}$ * $\mathit{aub1} = \{1,2,3,4\}$
TRUE TRUE
Solution: Solution:
a = {1,2,4} a = {1,2,4}
b = {2,3,4} b = {2,3,4}
aub2 = {1,2,3,4} aub2 = {1,2,3,4}
aub1 = {1,2,3,4} aub1 = {1,2,3,4}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
a = {1,2,4} & b = {2,3,4} & aib1 = a/\b & a = {1,2,4} & b = {2,3,4} & aib1 = a/\b &
aib2 = {x | x:a & x:b} aib2 = {x | x:a & x:b}
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{a} = \{1,2,4\}$ * $\mathit{a} = \{1,2,4\}$
* $\mathit{b} = \{2,3,4\}$ * $\mathit{b} = \{2,3,4\}$
* $\mathit{aib2} = \{2,4\}$ * $\mathit{aib2} = \{2,4\}$
* $\mathit{aib1} = \{2,4\}$ * $\mathit{aib1} = \{2,4\}$
TRUE TRUE
Solution: Solution:
a = {1,2,4} a = {1,2,4}
b = {2,3,4} b = {2,3,4}
aib2 = {2,4} aib2 = {2,4}
aib1 = {2,4} aib1 = {2,4}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
a = {1,2,4} & b = {2,3,4} & aib1 = a \b a = {1,2,4} & b = {2,3,4} & aib1 = a \b
& aib2 = {x | x:a & x/:b} & aib2 = {x | x:a & x/:b}
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{a} = \{1,2,4\}$ * $\mathit{a} = \{1,2,4\}$
* $\mathit{b} = \{2,3,4\}$ * $\mathit{b} = \{2,3,4\}$
* $\mathit{aib2} = \{1\}$ * $\mathit{aib2} = \{1\}$
* $\mathit{aib1} = \{1\}$ * $\mathit{aib1} = \{1\}$
TRUE TRUE
Solution: Solution:
a = {1,2,4} a = {1,2,4}
b = {2,3,4} b = {2,3,4}
aib2 = {1} aib2 = {1}
aib1 = {1} aib1 = {1}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
a = {1,2,4} & b = {2,3,4} & c = {4,6} & abc = union({a,b,c}) a = {1,2,4} & b = {2,3,4} & c = {4,6} & abc = union({a,b,c})
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{a} = \{1,2,4\}$ * $\mathit{a} = \{1,2,4\}$
* $\mathit{b} = \{2,3,4\}$ * $\mathit{b} = \{2,3,4\}$
* $\mathit{c} = \{4,6\}$ * $\mathit{c} = \{4,6\}$
* $\mathit{abc} = \{1,2,3,4,6\}$ * $\mathit{abc} = \{1,2,3,4,6\}$
TRUE TRUE
Solution: Solution:
a = {1,2,4} a = {1,2,4}
b = {2,3,4} b = {2,3,4}
c = {4,6} c = {4,6}
abc = {1,2,3,4,6} abc = {1,2,3,4,6}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
POW(1..2) POW(1..2)
``` ```
%% Output %% Output
$\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{2\}\}$ $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{2\}\}$
{∅,{1},{1,2},{2}} {∅,{1},{1,2},{2}}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
POW(BOOL) POW(BOOL)
``` ```
%% Output %% Output
$\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{\emptyset,\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\},\{\mathit{TRUE}\}\}$ $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{\emptyset,\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\},\{\mathit{TRUE}\}\}$
{∅,{FALSE},{FALSE,TRUE},{TRUE}} {∅,{FALSE},{FALSE,TRUE},{TRUE}}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
POW(POW(BOOL)) POW(POW(BOOL))
``` ```
%% Output %% Output
$\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\mathit{FALSE}\}\},\{\emptyset,\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\}\},\{\emptyset,\{\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{FALSE}\}\},\{\emptyset,\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\}\},\{\emptyset,\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{TRUE}\}\},\{\emptyset,\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\},\{\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\}\},\{\emptyset,\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\},\{\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\},\{\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\},\{\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{TRUE}\}\}\}$ $\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\renewcommand{\emptyset}{\mathord\varnothing}\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\mathit{FALSE}\}\},\{\emptyset,\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\}\},\{\emptyset,\{\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{FALSE}\}\},\{\emptyset,\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\}\},\{\emptyset,\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{TRUE}\}\},\{\emptyset,\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\},\{\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\}\},\{\emptyset,\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\},\{\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{FALSE}\},\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\},\{\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{FALSE},\mathit{TRUE}\},\{\mathit{TRUE}\}\},\{\{\mathit{TRUE}\}\}\}$
{∅,{∅},{∅,{FALSE}},{∅,{FALSE,TRUE}},{∅,{TRUE}},{{FALSE}},{∅,{FALSE},{FALSE,TRUE}},{∅,{FALSE},{TRUE}},{{FALSE},{FALSE,TRUE}},{{FALSE},{TRUE}},{∅,{FALSE},{FALSE,TRUE},{TRUE}},{{FALSE,TRUE}},{∅,{FALSE,TRUE},{TRUE}},{{FALSE},{FALSE,TRUE},{TRUE}},{{FALSE,TRUE},{TRUE}},{{TRUE}}} {∅,{∅},{∅,{FALSE}},{∅,{FALSE,TRUE}},{∅,{TRUE}},{{FALSE}},{∅,{FALSE},{FALSE,TRUE}},{∅,{FALSE},{TRUE}},{{FALSE},{FALSE,TRUE}},{{FALSE},{TRUE}},{∅,{FALSE},{FALSE,TRUE},{TRUE}},{{FALSE,TRUE}},{∅,{FALSE,TRUE},{TRUE}},{{FALSE},{FALSE,TRUE},{TRUE}},{{FALSE,TRUE},{TRUE}},{{TRUE}}}
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
card(POW(POW(POW(BOOL)))) card(POW(POW(POW(BOOL))))
``` ```
%% Output %% Output
$65536$ $65536$
65536 65536
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Übung: Send More Money ## Übung: Send More Money
Man soll 8 Ziffern finden so dass folgende Summe aufgeht Man soll 8 Ziffern finden so dass folgende Summe aufgeht
| | | | | | | | | | | | | |
|---|---|---|---|---|---| |---|---|---|---|---|---|
| | | S | E | N | D | | | | S | E | N | D |
| | + | M | O | R | E | | | + | M | O | R | E |
| = | M | O | N | E | Y | | = | M | O | N | E | Y |
Wir brauchen acht Ziffern: Wir brauchen acht Ziffern:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{S,E,N,D,M,O,R,Y}<:0..9 {S,E,N,D,M,O,R,Y}<:0..9
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{R} = 0$ * $\mathit{R} = 0$
* $\mathit{S} = 0$ * $\mathit{S} = 0$
* $\mathit{D} = 0$ * $\mathit{D} = 0$
* $\mathit{E} = 0$ * $\mathit{E} = 0$
* $\mathit{Y} = 0$ * $\mathit{Y} = 0$
* $\mathit{M} = 0$ * $\mathit{M} = 0$
* $\mathit{N} = 0$ * $\mathit{N} = 0$
* $\mathit{O} = 0$ * $\mathit{O} = 0$
TRUE TRUE
Solution: Solution:
R = 0 R = 0
S = 0 S = 0
D = 0 D = 0
E = 0 E = 0
Y = 0 Y = 0
M = 0 M = 0
N = 0 N = 0
O = 0 O = 0
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Diese Ziffern sollen alle unterschiedlich sein: Diese Ziffern sollen alle unterschiedlich sein:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{S,E,N,D,M,O,R,Y}⊆0..9 & card({S,E,N,D,M,O,R,Y}) = 8 {S,E,N,D,M,O,R,Y}⊆0..9 & card({S,E,N,D,M,O,R,Y}) = 8
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{R} = 2$ * $\mathit{R} = 2$
* $\mathit{S} = 0$ * $\mathit{S} = 0$
* $\mathit{D} = 5$ * $\mathit{D} = 5$
* $\mathit{E} = 7$ * $\mathit{E} = 7$
* $\mathit{Y} = 1$ * $\mathit{Y} = 1$
* $\mathit{M} = 4$ * $\mathit{M} = 4$
* $\mathit{N} = 6$ * $\mathit{N} = 6$
* $\mathit{O} = 3$ * $\mathit{O} = 3$
TRUE TRUE
Solution: Solution:
R = 2 R = 2
S = 0 S = 0
D = 5 D = 5
E = 7 E = 7
Y = 1 Y = 1
M = 4 M = 4
N = 6 N = 6
O = 3 O = 3
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Die Ziffern S und M dürfen nicht 0 sein: Die Ziffern S und M dürfen nicht 0 sein:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{S,E,N,D,M,O,R,Y}⊆0..9 & card({S,E,N,D,M,O,R,Y}) = 8 & {S,E,N,D,M,O,R,Y}⊆0..9 & card({S,E,N,D,M,O,R,Y}) = 8 &
S /= 0 & M /= 0 S /= 0 & M /= 0
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{R} = 3$ * $\mathit{R} = 3$
* $\mathit{S} = 2$ * $\mathit{S} = 2$
* $\mathit{D} = 5$ * $\mathit{D} = 5$
* $\mathit{E} = 7$ * $\mathit{E} = 7$
* $\mathit{Y} = 0$ * $\mathit{Y} = 0$
* $\mathit{M} = 1$ * $\mathit{M} = 1$
* $\mathit{N} = 6$ * $\mathit{N} = 6$
* $\mathit{O} = 4$ * $\mathit{O} = 4$
TRUE TRUE
Solution: Solution:
R = 3 R = 3
S = 2 S = 2
D = 5 D = 5
E = 7 E = 7
Y = 0 Y = 0
M = 1 M = 1
N = 6 N = 6
O = 4 O = 4
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Und jetzt muss noch die Summe stimmen: Und jetzt muss noch die Summe stimmen:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{S,E,N,D,M,O,R,Y}<:0..9 & card({S,E,N,D,M,O,R,Y}) = 8 & {S,E,N,D,M,O,R,Y}<:0..9 & card({S,E,N,D,M,O,R,Y}) = 8 &
S /= 0 & M /= 0 & S /= 0 & M /= 0 &
S*1000 + E*100 + N*10 + D + M*1000 + O*100 + R*10 + E = S*1000 + E*100 + N*10 + D + M*1000 + O*100 + R*10 + E =
M*10000 + O*1000 + N*100 + E*10 + Y M*10000 + O*1000 + N*100 + E*10 + Y
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
**Solution:** **Solution:**
* $\mathit{R} = 8$ * $\mathit{R} = 8$
* $\mathit{S} = 9$ * $\mathit{S} = 9$
* $\mathit{D} = 7$ * $\mathit{D} = 7$
* $\mathit{E} = 5$ * $\mathit{E} = 5$
* $\mathit{Y} = 2$ * $\mathit{Y} = 2$
* $\mathit{M} = 1$ * $\mathit{M} = 1$
* $\mathit{N} = 6$ * $\mathit{N} = 6$
* $\mathit{O} = 0$ * $\mathit{O} = 0$
TRUE TRUE
Solution: Solution:
R = 8 R = 8
S = 9 S = 9
D = 7 D = 7
E = 5 E = 5
Y = 2 Y = 2
M = 1 M = 1
N = 6 N = 6
O = 0 O = 0
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Wir können auch die Menge aller Lösungen bestimmen: Wir können auch die Menge aller Lösungen bestimmen:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
:table {S|->E|->N|->D|->M|->O|->R|->Y | :table {S|->E|->N|->D|->M|->O|->R|->Y |
{S,E,N,D,M,O,R,Y}⊆0..9 & card({S,E,N,D,M,O,R,Y}) = 8 & {S,E,N,D,M,O,R,Y}⊆0..9 & card({S,E,N,D,M,O,R,Y}) = 8 &
S /= 0 & M /= 0 & S /= 0 & M /= 0 &
S*1000 + E*100 + N*10 + D + M*1000 + O*100 + R*10 + E S*1000 + E*100 + N*10 + D + M*1000 + O*100 + R*10 + E
= M*10000 + O*1000 + N*100 + E*10 + Y } = M*10000 + O*1000 + N*100 + E*10 + Y }
``` ```
%% Output %% Output
|S|E|N|D|M|O|R|Y| |S|E|N|D|M|O|R|Y|
|---|---|---|---|---|---|---|---| |---|---|---|---|---|---|---|---|
|$9$|$5$|$6$|$7$|$1$|$0$|$8$|$2$| |$9$|$5$|$6$|$7$|$1$|$0$|$8$|$2$|
S E N D M O R Y S E N D M O R Y
9 5 6 7 1 0 8 2 9 5 6 7 1 0 8 2
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Neue Basismengen ## Neue Basismengen
Vom Benutzer können in Event-B neue Basismengen eingeführt werden Vom Benutzer können in Event-B neue Basismengen eingeführt werden
* werden in der `sets` Sektion von Kontexten eingeführt * werden in der `sets` Sektion von Kontexten eingeführt
* jede Benutzermenge ist sein eigener Typ! * jede Benutzermenge ist sein eigener Typ!
Man darf unterschiedliche Mengen bzw. Elemente aus unterschiedlichen Basismengen nicht mischen. Man darf unterschiedliche Mengen bzw. Elemente aus unterschiedlichen Basismengen nicht mischen.
Es gibt zwei Möglichkeiten: Es gibt zwei Möglichkeiten:
1) Enumerated Set: man gibt explizit alle Elemente der neuen Basismenge an 1) Enumerated Set: man gibt explizit alle Elemente der neuen Basismenge an
S = {a,b,c} in klassischem B oder partition(S,{a},{b},{c}). S = {a,b,c} in klassischem B oder partition(S,{a},{b},{c}).
2) Deferred Set: man lässt die Menge für Erweiterungen offen 2) Deferred Set: man lässt die Menge für Erweiterungen offen
In Rodin gibt es zwei Wizards zum einführen von enumerated bzw. deferred "carrier" sets. In Rodin gibt es zwei Wizards zum einführen von enumerated bzw. deferred "carrier" sets.
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
## Typen in B ## Typen in B
* es gibt einen Typ für alle Zahlen: INT (ℤ) * es gibt einen Typ für alle Zahlen: INT (ℤ)
* es gibt den Typ BOOL für die Bool'schen Werte * es gibt den Typ BOOL für die Bool'schen Werte
* für jede Basismenge gibt es einen eigenen Typen * für jede Basismenge gibt es einen eigenen Typen
* ist t ein Typ, dann ist POW(t) auch ein Typ * ist t ein Typ, dann ist POW(t) auch ein Typ
* nächste Woche werden wir noch ein weitere Typkonstruktion sehen * nächste Woche werden wir noch ein weitere Typkonstruktion sehen
Jeder Ausdruck und damit auch jede Variable muss genau einen Typen haben. Die Typen müssen mit den Signaturen der B Operatoren kompatibel sein. Jeder Ausdruck und damit auch jede Variable muss genau einen Typen haben. Die Typen müssen mit den Signaturen der B Operatoren kompatibel sein.
* man kann explizit Typen angeben, mit einem Prädikat `VARIABLE ∈ TYP`, zum Beispiel: `a∈ℤ` * man kann explizit Typen angeben, mit einem Prädikat `VARIABLE ∈ TYP`, zum Beispiel: `a∈ℤ`
* oder auf die Typ-Inferenz von Atelier-B, Rodin, ProB hoffen (Atelier-B am schwächsten; ProB am mächtigsten) * oder auf die Typ-Inferenz von Atelier-B, Rodin, ProB hoffen (Atelier-B am schwächsten; ProB am mächtigsten)
Beispiele: Beispiele:
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
:type 1 :type 1
``` ```
%% Output %% Output
INT INT
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
1 ∈ ℤ 1 ∈ ℤ
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
:type {1} :type {1}
``` ```
%% Output %% Output
POW(INT) POW(INT)
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{1} ∈ POW(INT) {1} ∈ POW(INT)
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
NAT : POW(INT) NAT : POW(INT)
``` ```
%% Output %% Output
$\mathit{TRUE}$ $\mathit{TRUE}$
TRUE TRUE
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
:type {} :type {}
``` ```
%% Output %% Output
POW(?) POW(?)
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
Are the following two expressions well-typed? What are the type inference rules? Are the following two expressions well-typed? What are the type inference rules?
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
1+card({TRUE}) 1+card({TRUE})
``` ```
%% Output %% Output
$2$ $2$
2 2
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
{TRUE} ∪ {1} {TRUE} ∪ {1}
``` ```
%% Output %% Output
de.prob.exception.CliError: Exception while processing command result de.prob.exception.CliError: Exception while processing command result
%% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:markdown id: tags:
### Inferenzregeln für Typen ### Inferenzregeln für Typen
Folgende Regeln sind relevant um die Typen der beiden Ausdrücke oben zu prüfen: Folgende Regeln sind relevant um die Typen der beiden Ausdrücke oben zu prüfen:
* type(1) = INTEGER * type(1) = INTEGER
* type(TRUE) = BOOL * type(TRUE) = BOOL
* type({ x }) = POW(XT) where type(x) = XT * type({ x }) = POW(XT) where type(x) = XT
* type(a+b) = INTEGER if type(a)=type(b)=INTEGER * type(a+b) = INTEGER if type(a)=type(b)=INTEGER
* type(a ∪ b) = POW(T) if type(a) = type(b) = POW(T) * type(a ∪ b) = POW(T) if type(a) = type(b) = POW(T)
%% Cell type:code id: tags: %% Cell type:code id: tags:
``` prob ``` prob
``` ```
......
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