From 3abcd375d98118f0048347e6d46b07ff98000cda Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Konrad=20V=C3=B6lkel?= <konrad.voelkel@hhu.de>
Date: Wed, 24 Apr 2024 21:10:55 +0000
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?mae-Verkleinerungslemma=20f=C3=BCr=20den=20Medi?=
=?UTF-8?q?an=20verbessert?=
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erwartungswert.md | 3 ++-
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index 9c17f4b..30b1809 100644
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+++ b/erwartungswert.md
@@ -32,7 +32,7 @@ Achtung: So definiert können mehrere Zahlen 'der' Median sein. It's not a bug,
Diese Definition mag ungewohnt sein, aber sie erfüllt die folgende Eigenschaft:
:::{admonition} Proposition
-Wenn $v \in \mathbb{R}^n$ sortiert ist, also $v_i < v_j$ für $ < j$, dann ist mit $v' := (v_2,\dots,v_{n-1}) \in \mathbb{R}^n$ ein neuer (kürzerer) Vektor definiert, sodass für alle $c \in \mathbb{R}$ mit $v_1 \leq c \leq v_n$ gilt:
+Wenn $n \geq 3$ und $v \in \mathbb{R}^n$ sortiert ist, also $v_i < v_j$ für $ < j$, dann ist mit $v' := (v_2,\dots,v_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n-2}$ ein neuer (kürzerer) Vektor definiert, sodass für alle $c \in \mathbb{R}$ mit $v_1 \leq c \leq v_n$ gilt:
$\texttt{mae}(v,c) = \texttt{mae}(v',c) + \dfrac{v_n - v_1}{n}$.
:::
@@ -41,6 +41,7 @@ Da der zweite Summand nicht von $c$ abhängt, ist er für die Bestimmung des Min
Durch induktive Anwendung dieser Erkenntnis bleibt uns nur noch, $\texttt{mae}(v,c)$ für Vektoren der Länge $1$ und $2$ zu bestimmen.
Es ist $\texttt{mae}((v_1),c) = |v_1 - c|$, was für $c = v_1$ minimal wird,
und $\texttt{mae}((v_1,v_2),c) = \frac{v_2 - v_1}{2}$, was für jedes $c$ zwischen $v_1$ und $v_2$ minimal wird. Also hängt der Median (einer sortierten Liste) nur vom mittleren / von den zwei mittleren Werten ab. Man definiert meist den Median so, dass in diesem Fall die Wahl $\texttt{median}((v_1,v_2)) = \dfrac{v_1+v_2}{2}$ getroffen wird (und so wollen wir es im Folgenden auch handhaben).
+Überlegen Sie sich dazu, dass für jedes $c$ mit $a \leq c \leq b$ der mittlere Abstand zu $(a,b)$ stets $\frac{b-a}{2}$ ist, es also viele Mediane für den Vektor $v = (a,b)$ gibt.
:::{admonition} Beweis
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