diff --git a/info4/kapitel-0/Logik.ipynb b/info4/kapitel-0/Logik.ipynb
index 1655a9d0164dc75281fa3625eb7d3ec51fbfa6e9..86f827479cbc3f82966c90ba05523626714438b6 100644
--- a/info4/kapitel-0/Logik.ipynb
+++ b/info4/kapitel-0/Logik.ipynb
@@ -6,9 +6,10 @@
"source": [
"# Theoretische Informatik - Vorlesung 0 - Teil 1 Logik\n",
"\n",
- "April 2020\n",
- "Michael Leuschel\n",
- "Heinrich-Heine Universität Düsseldorf\n",
+ "* April 2020\n",
+ "* Michael Leuschel\n",
+ "* Lehrstuhl Softwaretechnik und Programmiersprachen\n",
+ "* Heinrich-Heine Universität Düsseldorf\n",
"\n",
"Grundlagen der Logik und Mengentheorie sind nicht im Skript.\n",
"Hier definieren wir einige Grundlagen und Notationen die im Skript verwendet werden.\n",
@@ -69,7 +70,7 @@
"source": [
"# Was ist Logik?\n",
"\n",
- "Quelle [https://de.wikipedia.org/wiki/Logik]:\n",
+ "Quelle [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Logik):\n",
"* vernünftiges Schlussfolgern, Denklehre\n",
"* In der Logik wird die Struktur von Argumenten im Hinblick auf ihre Gültigkeit untersucht, unabhängig vom Inhalt der Aussagen\n",
"* Traditionell ist die Logik ein Teil der Philosophie.\n",
@@ -83,7 +84,7 @@
"# Warum Logik studieren?\n",
"\n",
"* Hardware: logische Schaltkreise\n",
- "* Wissensdarstellung und intelligentes Denken: künstliche Intelligenz, deklarative Darstellung von Wissen, semantisches Web, ...\n",
+ "* Wissensdarstellung und intelligentes Denken: Künstliche Intelligenz, deklarative Darstellung von Wissen, semantisches Web, ...\n",
"* Überlegungen über Programme: Verifikation, statische Programmanalyse, Programmoptimierung,...\n",
"* Universale Vorrichtung zur Berechnung: Datenbanken, logische Programmierung, ...\n",
"* Grundlage der Mathematik und auch der theoretischen Informatik\n",
@@ -104,8 +105,8 @@
"* Relevanzlogik, lineare Logik\n",
"* eine nichtmonotone Logik\n",
"\n",
- " Wir werden die klassische, zweiwertige, monotone Aussagenlogik\n",
- " und Prädikatenlogik studieren (zusammen mit Mengentheorie)."
+ " Wir werden die klassische, zweiwertige, monotone **Aussagenlogik**\n",
+ " und **Prädikatenlogik** studieren (zusammen mit Mengentheorie)."
]
},
{
@@ -115,8 +116,14 @@
"# Aussagenlogik\n",
"\n",
"Eine Aussage ist endweder wahr (TRUE) oder falsch (FALSE).\n",
+ "Hier sind vier Aussagen:\n",
+ "1. Siegfried ist ein Ritter\n",
+ "2. Alle Ritter sagen die Wahrheit\n",
+ "3. Siegfried sagt \"Ich habe den Drachen getötet\"\n",
+ "4. Siegfried hat den Drachen getötet.\n",
"\n",
- "Die Logik interessiert sich weniger ob Aussagen wie wahr oder falsch sind, sondern mehr um Zusammenhänge zwischen möglichen Wahrheitswerten verschiedener Aussagen und Formeln.\n",
+ "Die Logik interessiert sich weniger ob Aussagen wahr oder falsch sind, sondern mehr um Zusammenhänge zwischen möglichen Wahrheitswerten verschiedener Aussagen und Formeln.\n",
+ "Zum Beispiel, wenn wir die Aussagen 1,2 und 3 als wahr annehmen, dann müssen wir auch die Aussage 4 als wahr annehmen.\n",
"\n",
"Einige Aussagen haben manchmal vordefinierte Wahrheitswerte.\n",
"Wir zum Beispiel benutzen Arithmetik und Mengetheorie in unseren logischen Formeln, ohne diese selber in Logik zu formalisieren.\n",
@@ -199,7 +206,7 @@
"source": [
"# Junktoren und Formeln\n",
"\n",
- "Jede Aussage ist auch eine Formel.\n",
+ "Jede Aussage ist auch eine Formel der Aussagenlogik.\n",
"Mit den Junktoren kann man Aussagen und Formeln zu grösseren Formeln der Aussagenlogik kombinieren.\n",
"\n",
"Die Negation ```¬(F)``` einer Formel F ist auch eine Formel. Die negierte Formel ist wahr genau dann wenn (gdw) die ursprünglihe Formel falsch ist:"
@@ -228,6 +235,13 @@
"¬(2<1)"
]
},
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "In diesen Notebooks muss der Inhalt der Negation immer geklammert werden. Im Skript ist das nicht immer nötig."
+ ]
+ },
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
@@ -258,6 +272,29 @@
"2>1 ∧ 1>0"
]
},
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": 5,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [
+ {
+ "data": {
+ "text/markdown": [
+ "$\\mathit{FALSE}$"
+ ],
+ "text/plain": [
+ "FALSE"
+ ]
+ },
+ "execution_count": 5,
+ "metadata": {},
+ "output_type": "execute_result"
+ }
+ ],
+ "source": [
+ "2>1 ∧ 1>2"
+ ]
+ },
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
@@ -288,6 +325,29 @@
"2>1 ∨ 1>2"
]
},
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": 6,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [
+ {
+ "data": {
+ "text/markdown": [
+ "$\\mathit{TRUE}$"
+ ],
+ "text/plain": [
+ "TRUE"
+ ]
+ },
+ "execution_count": 6,
+ "metadata": {},
+ "output_type": "execute_result"
+ }
+ ],
+ "source": [
+ "2>1 ∨ 3>1"
+ ]
+ },
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
@@ -341,6 +401,29 @@
"2<1 ⇒ 1+1 = 5"
]
},
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": 7,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [
+ {
+ "data": {
+ "text/markdown": [
+ "$\\mathit{FALSE}$"
+ ],
+ "text/plain": [
+ "FALSE"
+ ]
+ },
+ "execution_count": 7,
+ "metadata": {},
+ "output_type": "execute_result"
+ }
+ ],
+ "source": [
+ "2>1 ⇒ 1+1=5"
+ ]
+ },
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
@@ -689,7 +772,7 @@
"source": [
"# Wahrheitstabellen\n",
"\n",
- "Die Bedeutung dieser Junktoren kann man in folgender Wahrheitstabelle zusammenfassen:\n",
+ "Die Bedeutung der Junktoren der Aussagenlogik kann man in folgender Wahrheitstabelle zusammenfassen:\n",
"\n",
"<img src=\"./img/wahrheitstabelle.png\" width=\"600\">\n",
"\n",
@@ -784,14 +867,18 @@
"$\\equiv$ ist transitiv und kommutativ.\n",
"\n",
"# Wichtige Äquivalenzen\n",
- "Für alle Formeln $\\phi, \\psi$ gilt:\n",
+ "Für alle Formeln $\\phi, \\psi$ der Aussagenlogik gilt:\n",
+ "* $\\phi \\wedge \\psi \\equiv \\psi \\wedge \\phi$ (Kommutativität)\n",
+ "* $\\phi \\vee \\psi \\equiv \\psi \\vee \\phi$ (Kommutativität)\n",
+ "\n",
+ "Mit diesen Regeln kann man $\\Rightarrow$ und $\\Leftrightarrow$ umwandeln:\n",
"* $\\phi \\Rightarrow \\psi \\equiv (\\neg \\phi) \\vee \\psi$\n",
"* $\\phi \\Leftrightarrow \\psi \\equiv (\\phi \\Rightarrow \\psi) \\wedge (\\psi \\Rightarrow \\phi)$\n",
+ "\n",
+ "Mit diesen Regeln kann man die Negation zu den atomaren Aussagen verschieben:\n",
"* $\\neg \\neg \\phi \\equiv \\phi$\n",
"* $\\neg(\\phi \\wedge \\psi) \\equiv (\\neg \\phi) \\vee (\\neg \\psi)$ (De Morgan)\n",
"* $\\neg(\\phi \\vee \\psi) \\equiv (\\neg \\phi) \\wedge (\\neg \\psi)$ (De Morgan)\n",
- "* $\\phi \\wedge \\psi \\equiv \\psi \\wedge \\phi$\n",
- "* $\\phi \\vee \\psi \\equiv \\psi \\vee \\phi$\n",
"\n",
"Hier illustrieren wir die Äquivalenz $\\neg(\\phi \\vee \\psi) \\equiv (\\neg \\phi) \\wedge (\\neg \\psi)$ als Wahrheitstabelle:"
]
@@ -894,7 +981,8 @@
"* Wir schreiben dies als $p \\wedge q \\models p$\n",
"* Formal bedeutet dies, dass alle Modelle von $q \\wedge p$ auch Modelle von $p$ sind.\n",
"\n",
- "Die Tabelle zeigt, dass $p \\Leftrightarrow q \\models p \\Rightarrow q$. Die Formeln sind nicht äquivalent."
+ "Die Tabelle zeigt, dass $p \\Leftrightarrow q \\models p \\Rightarrow q$.\n",
+ "Die beiden Formeln sind nicht äquivalent."
]
},
{
@@ -933,14 +1021,22 @@
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
- "Wichtige logische Schlussfolgerungen}\n",
+ "# Wichtige logische Schlussfolgerungen\n",
+ "\n",
"Für alle Formeln $\\phi, \\psi$ gilt:\n",
"* $\\phi \\wedge \\psi \\models \\phi$\n",
+ "\n",
"* $(\\phi \\Rightarrow \\psi) \\wedge \\phi \\models \\psi$ (Modus Ponens)\n",
"* $(\\phi \\Rightarrow \\psi) \\wedge \\neg\\psi \\models \\neg\\phi$ (Modus Tollens)\n",
+ "\n",
+ "Beispiel: $\\phi$ = \"Es regnet\", $\\psi$ = \"Die Straße wird nass\".\n",
+ "\n",
"* $(\\phi \\Leftrightarrow \\psi) \\wedge \\psi \\models \\phi$\n",
"* $(\\phi \\Leftrightarrow \\psi) \\wedge \\neg\\psi \\models \\neg\\phi$\n",
- "* Achtung $\\phi \\wedge \\neg \\phi \\models \\psi$ für beliebiges $\\psi$ !"
+ "\n",
+ "Achtung $\\phi \\wedge \\neg \\phi \\models \\psi$ für beliebiges $\\psi$ !\n",
+ "Also:\n",
+ "* $1>2 \\models 1+1=100$\n"
]
},
{
@@ -1445,18 +1541,24 @@
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
- "# Quantoren: Einige Gesetze\n",
+ "# Quantoren: Einige Gesetze der Prädikatenlogik\n",
+ "\n",
+ "Mit diesen beiden Gesetzen kann man die Negation zu den atomaren Aussagen und Prädikaten verschieben:\n",
"* $\\neg \\exists x. P \\equiv \\forall x. \\neg P$\n",
" * $\\neg \\exists x. (x>0 \\wedge x<0) \\equiv \\forall x. \\neg (x>0 \\wedge x<0) \\equiv$ $\\forall x. (x\\leq 0 \\vee x\\geq 0)$\n",
"\n",
"* $\\neg \\forall x. P \\equiv \\exists x. \\neg P$\n",
"\n",
+ "Diese Gesetze erlauben es einem Quantoren zu vertauschen:\n",
"* $\\forall x.( \\forall y. P) \\equiv \\forall y.( \\forall x. P)$ \n",
- " * $\\forall x. (\\forall y. (x \\leq y \\vee x>y)) \\equiv \\forall y. (\\forall x. (x \\leq y \\vee x>y))$\n",
+ " * Beispiel: $\\forall x. (\\forall y. (x \\leq y \\vee x>y)) \\equiv \\forall y. (\\forall x. (x \\leq y \\vee x>y))$\n",
+ "\n",
+ "* $\\exists x.( \\exists y. P) \\equiv \\exists y.( \\exists x. P)$\n",
+ " * Beispiel: $\\exists x. (\\exists y. (x+y=0)) \\equiv \\exists y. (\\exists x. (x+y=0))$\n",
"\n",
+ "Aber Achtung:\n",
"* $\\forall x.( \\exists y. P) \\not\\equiv \\exists y.( \\forall x. P)$\n",
- " * $\\forall x. (\\exists y. (y > x)) \\not\\equiv \\exists y. (\\forall x. (y > x)$\n",
- "* $\\exists x.( \\exists y. P) \\equiv \\exists y.( \\exists x. P)$"
+ " * Beispiel: $\\forall x. (\\exists y. (y > x)) \\not\\equiv \\exists y. (\\forall x. (y > x)$"
]
},
{
@@ -1510,12 +1612,13 @@
"\n",
"# Zusammenfassung Logik\n",
" \n",
- "* Aussagenlogik und Prädikatenlogik\n",
+ "* Formeln der Aussagenlogik und Prädikatenlogik\n",
"* Interpretation, Modell, Äquivalenz ($\\equiv$), logisches Schließen ($\\models$)\n",
"* Deduktiver Beweis, Äquivalenzbeweis\n",
"* Beweis durch Widerspruch\n",
"* Äquivalenzen (Kommutativität, de Morgan, ...)\n",
- "* logische Formeln verstehen und erstellen können"
+ "* Ziel: logische Formeln verstehen und erstellen können\n",
+ "* Nächste Vorlesung: Grundlagen der Mengentheorie"
]
},
{